初级微积分示例

$f (x) = x^{3} + 3 x$

解题步骤 1

考虑差商公式。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

解题步骤 2

求定义的补集。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

计算函数在 $x = x + h$ 处的值。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

使用表达式中的 $x + h$ 替换变量 $x$ 。

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2

化简结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.2.1.1

使用二项式定理。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 3 (x + h)$

解题步骤 2.1.2.1.2

运用分配律。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.1.2.2

最终答案为 $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 3 x + 3 h$ 。

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.2

重新排序。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.2.2

移动 $x$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 3 x + 3 h$

解题步骤 2.2.3

移动 $3 x$ 。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.4

移动 $x^{3}$ 。

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.5

移动 $3 h x^{2}$ 。

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.2.6

将 $3 h^{2} x$ 和 $h^{3}$ 重新排序。

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 3 h + 3 x$

解题步骤 2.3

求定义的补集。

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 3 h + 3 x$

$f (x) = x^{3} + 3 x$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 3 h + 3 x$

$f (x) = x^{3} + 3 x$

解题步骤 3

插入分量。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 3 h + 3 x - (x^{3} + 3 x)}{h}$

解题步骤 4

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

化简分子。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.1

运用分配律。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 3 h + 3 x - x^{3} - (3 x)}{h}$

解题步骤 4.1.2

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} + 3 h + 3 x - x^{3} - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.3

从 $x^{3}$ 中减去 $x^{3}$ 。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 3 h + 3 x + 0 - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.4

将 $h^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 3 h + 3 x - 3 x}{h}$

解题步骤 4.1.5

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 3 h + 0}{h}$

解题步骤 4.1.6

将 $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 3 h$ 和 $0$ 相加。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.7

从 $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1.7.1

从 $h^{3}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.7.2

从 $3 h^{2} x$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.7.3

从 $3 h x^{2}$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + 3 h}{h}$

解题步骤 4.1.7.4

从 $3 h$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.7.5

从 $h (h^{2}) + h (3 h x)$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.7.6

从 $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 3}{h}$

解题步骤 4.1.7.7

从 $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h \cdot 3$ 中分解出因数 $h$ 。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 3)}{h}$

解题步骤 4.2

通过约去公因数来化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

约去 $h$ 的公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 3)}{h}$

解题步骤 4.2.1.2

用 $h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 3$ 除以 $1$ 。

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} + 3$

解题步骤 4.2.2

化简表达式。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.2.1

移动 $h$ 。

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} + 3$

解题步骤 4.2.2.2

移动 $h^{2}$ 。

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} + 3$

解题步骤 4.2.2.3

将 $3 x h$ 和 $3 x^{2}$ 重新排序。

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} + 3$

解题步骤 5

初级微积分 示例

初级微积分示例