初级微积分示例

$v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

解题步骤 1

将 $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ 写为等式。

$y = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{\sqrt{- y}}{3} - 3$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$ 。

$\frac{\sqrt{- y}}{3} - 3 = x$

解题步骤 3.2

求解 $\sqrt{- y}$ 。

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解题步骤 3.2.1

在等式两边都加上 $3$ 。

$\frac{\sqrt{- y}}{3} = x + 3$

解题步骤 3.2.2

等式两边同时乘以 $3$ 。

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

解题步骤 3.2.3

化简方程的两边。

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解题步骤 3.2.3.1

化简左边。

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解题步骤 3.2.3.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.3.1.1.1

约去公因数。

$3 \frac{\sqrt{- y}}{3} = 3 (x + 3)$

解题步骤 3.2.3.1.1.2

重写表达式。

$\sqrt{- y} = 3 (x + 3)$

解题步骤 3.2.3.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.2.1

化简 $3 (x + 3)$ 。

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解题步骤 3.2.3.2.1.1

运用分配律。

$\sqrt{- y} = 3 x + 3 \cdot 3$

解题步骤 3.2.3.2.1.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$\sqrt{- y} = 3 x + 9$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{- y}}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- y}$ 重写成 ${(- y)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x + 9)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${({(- y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x + 9)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- y)}^{1} = {(3 x + 9)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$- y = {(3 x + 9)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(3 x + 9)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

将 ${(3 x + 9)}^{2}$ 重写为 $(3 x + 9) (3 x + 9)$ 。

$- y = (3 x + 9) (3 x + 9)$

解题步骤 3.4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(3 x + 9) (3 x + 9)$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.2.1

运用分配律。

$- y = 3 x (3 x + 9) + 9 (3 x + 9)$

解题步骤 3.4.3.1.2.2

运用分配律。

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x + 9)$

解题步骤 3.4.3.1.2.3

运用分配律。

$- y = 3 x (3 x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

解题步骤 3.4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$- y = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.2

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.3.1.2.1

移动 $x$ 。

$- y = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- y = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$- y = 9 x^{2} + 3 x \cdot 9 + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.4

将 $9$ 乘以 $3$ 。

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 9 (3 x) + 9 \cdot 9$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.5

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 9 \cdot 9$

解题步骤 3.4.3.1.3.1.6

将 $9$ 乘以 $9$ 。

$- y = 9 x^{2} + 27 x + 27 x + 81$

解题步骤 3.4.3.1.3.2

将 $27 x$ 和 $27 x$ 相加。

$- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$

解题步骤 3.5

将 $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.5.1

将 $- y = 9 x^{2} + 54 x + 81$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- y}{- 1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{y}{1} = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{9 x^{2}}{- 1} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.5.3.1.1

移动 $\frac{9 x^{2}}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 1 \cdot (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.2

将 $- 1 \cdot (9 x^{2})$ 重写为 $- (9 x^{2})$ 。

$y = - (9 x^{2}) + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.3

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 9 x^{2} + \frac{54 x}{- 1} + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.4

移动 $\frac{54 x}{- 1}$ 中分母的负号。

$y = - 9 x^{2} - 1 \cdot (54 x) + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.5

将 $- 1 \cdot (54 x)$ 重写为 $- (54 x)$ 。

$y = - 9 x^{2} - (54 x) + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.6

将 $54$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - 9 x^{2} - 54 x + \frac{81}{- 1}$

解题步骤 3.5.3.1.7

用 $81$ 除以 $- 1$ 。

$y = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

解题步骤 4

Replace $y$ with $v^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

解题步骤 5

验证 $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ 是否为 $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $v^{- 1} (v (x)) = x$ 和 $v (v^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $v^{- 1} (v (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$v^{- 1} (v (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $v$ 的值代入 $v^{- 1}$ 来计算 $v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 {(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2} - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

将 ${(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)}^{2}$ 重写为 $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 ((\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

运用分配律。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.2.2

运用分配律。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3)) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.2.3

运用分配律。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1

乘以 $\frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot \frac{\sqrt{- x}}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.1.1

将 $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ 乘以 $\frac{\sqrt{- x}}{3}$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.1.2

对 $\sqrt{- x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.1.3

对 $\sqrt{- x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{\sqrt{- x} \sqrt{- x}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{1 + 1}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.1.5

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{3 \cdot 3} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.1.6

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{\sqrt{- x}}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.2

将 ${\sqrt{- x}}^{2}$ 重写为 $- x$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- x}$ 重写成 ${(- x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{({(- x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.2.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1.2.4.1

约去公因数。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{{(- x)}^{\frac{2}{2}}}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.2.4.2

重写表达式。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.2.5

化简。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (\frac{- x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.3

将负号移到分数的前面。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot - 3 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1.4.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 (- 1)) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.4.2

约去公因数。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \frac{\sqrt{- x}}{3} \cdot (3 \cdot - 1) - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.4.3

重写表达式。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} + \sqrt{- x} \cdot - 1 - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.5

将 $- 1$ 移到 $\sqrt{- x}$ 的左侧。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 1 \cdot \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.6

将 $- 1 \sqrt{- x}$ 重写为 $- \sqrt{- x}$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 3 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.3.1.7.1

从 $- 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 (- 1) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.7.2

约去公因数。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} + 3 \cdot (- 1 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.7.3

重写表达式。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - 1 \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.8

将 $- 1 \sqrt{- x}$ 重写为 $- \sqrt{- x}$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} - 3 \cdot - 3) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.1.9

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - \sqrt{- x} - \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.3.2

从 $- \sqrt{- x}$ 中减去 $\sqrt{- x}$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9} - 2 \sqrt{- x} + 9) - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.4

运用分配律。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 (- \frac{x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5

化简。

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解题步骤 5.2.3.5.1

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.5.1.1

将 $- \frac{x}{9}$ 中前置负号移到分子中。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 9 \frac{- x}{9} - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5.1.2

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 (- 1) (\frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5.1.3

约去公因数。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 9 \cdot (- 1 \frac{- x}{9}) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5.1.4

重写表达式。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = - 1 (- x) - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = 1 x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 9 (- 2 \sqrt{- x}) - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5.4

将 $- 2$ 乘以 $- 9$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 9 \cdot 9 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.5.5

将 $- 9$ 乘以 $9$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) - 81$

解题步骤 5.2.3.6

运用分配律。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 54 \frac{\sqrt{- x}}{3} - 54 \cdot - 3 - 81$

解题步骤 5.2.3.7

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.7.1

从 $- 54$ 中分解出因数 $3$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 (- 18) (\frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

解题步骤 5.2.3.7.2

约去公因数。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 + 3 \cdot (- 18 \frac{\sqrt{- x}}{3}) - 54 \cdot - 3 - 81$

解题步骤 5.2.3.7.3

重写表达式。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} - 54 \cdot - 3 - 81$

解题步骤 5.2.3.8

将 $- 54$ 乘以 $- 3$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$

解题步骤 5.2.4

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 5.2.4.1

合并 $x + 18 \sqrt{- x} - 81 - 18 \sqrt{- x} + 162 - 81$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1.1

从 $18 \sqrt{- x}$ 中减去 $18 \sqrt{- x}$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0 - 81 + 162 - 81$

解题步骤 5.2.4.1.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x - 81 + 162 - 81$

解题步骤 5.2.4.2

将 $- 81$ 和 $162$ 相加。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 81 - 81$

解题步骤 5.2.4.3

合并 $x + 81 - 81$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.3.1

从 $81$ 中减去 $81$ 。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.3.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$v^{- 1} (\frac{\sqrt{- x}}{3} - 3) = x$

解题步骤 5.3

计算 $v (v^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$v (v^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $v^{- 1}$ 的值代入 $v$ 来计算 $v (- 9 x^{2} - 54 x - 81)$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 x^{2} - 54 x - 81)}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.3.3.1.1

从 $- 9 x^{2} - 54 x - 81$ 中分解出因数 $9$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.1.1

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $9$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) - 54 x - 81)}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.1.2

从 $- 54 x$ 中分解出因数 $9$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) - 81)}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.1.3

从 $- 81$ 中分解出因数 $9$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.1.4

从 $9 (- x^{2}) + 9 (- 6 x)$ 中分解出因数 $9$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.1.5

从 $9 (- x^{2} - 6 x) + 9 (- 9)$ 中分解出因数 $9$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 9 = 9$ 并且它们的和为 $b = - 6$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.2.1.1

从 $- 6 x$ 中分解出因数 $- 6$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 6 x - 9))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.2.1.2

把 $- 6$ 重写为 $- 3$ 加 $- 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} + (- 3 - 3) x - 9))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.2.1.3

运用分配律。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x^{2} - 3 x - 3 x - 9))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.3.3.1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x^{2} - 3 x) - 3 x - 9))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (x (- x - 3) + 3 (- x - 3)))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 3$ 来因式分解多项式。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 ((- x - 3) (x + 3)))}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- x - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3

合并指数。

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解题步骤 5.3.3.1.3.1

从 $- x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 3) (x + 3))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.2

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x) - 1 \cdot 3) (x + 3))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.3

从 $- (x) - 1 (3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.4

将 $- (x + 3)$ 重写为 $- 1 (x + 3)$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 (- 1 (x + 3)) (x + 3))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.5

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.6

对 $x + 3$ 进行 $1$ 次方运算。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 ((x + 3) (x + 3))))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{1 + 1}))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (9 \cdot (- 1 {(x + 3)}^{2}))}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.3.9

将 $9$ 乘以 $- 1$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{- (- 9 {(x + 3)}^{2})}}{3} - 3$

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 9$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{9 {(x + 3)}^{2}}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.5

将 $9 {(x + 3)}^{2}$ 重写为 ${(3 (x + 3))}^{2}$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{\sqrt{{(3 (x + 3))}^{2}}}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.6

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.7

运用分配律。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.8

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 9}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.9

从 $3 x + 9$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.3.3.1.9.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x) + 9}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.9.2

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 x + 3 \cdot 3}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.1.9.3

从 $3 x + 3 \cdot 3$ 中分解出因数 $3$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = \frac{3 (x + 3)}{3} - 3$

解题步骤 5.3.3.2.2

用 $x + 3$ 除以 $1$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 3 - 3$

解题步骤 5.3.4

合并 $x + 3 - 3$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$v (- 9 x^{2} - 54 x - 81) = x$

解题步骤 5.4

由于 $v^{- 1} (v (x)) = x$ 和 $v (v^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$ 为 $v (x) = \frac{\sqrt{- x}}{3} - 3$ 的反函数。

$v^{- 1} (x) = - 9 x^{2} - 54 x - 81$

初级微积分 示例

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