初级微积分示例

$f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$

解题步骤 1

将 $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ 写为等式。

$y = 2 x + \frac{1}{3}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 2 y + \frac{1}{3}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $2 y + \frac{1}{3} = x$ 。

$2 y + \frac{1}{3} = x$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{3}$ 。

$2 y = x - \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3

将 $2 y = x - \frac{1}{3}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.3.1

将 $2 y = x - \frac{1}{3}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 y}{2} = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

解题步骤 3.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{x}{2} + \frac{- \frac{1}{3}}{2}$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将分子乘以分母的倒数。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.3.1.2

乘以 $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.2.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{2 \cdot 3}$

解题步骤 3.3.3.1.2.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ 是否为 $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3})$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.3.1.1

要将 $2 x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{2 x \cdot \frac{3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.3.1.2

组合 $2 x$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3}{3} + \frac{1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.3.1.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{2 x \cdot 3 + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.3.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{\frac{6 x + 1}{3}}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.3.2

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.3.3

乘以 $\frac{6 x + 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.3.1

将 $\frac{6 x + 1}{3}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{3 \cdot 2} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.3.3.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1}{6} - \frac{1}{6}$

解题步骤 5.2.4

化简项。

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解题步骤 5.2.4.1

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 1 - 1}{6}$

解题步骤 5.2.4.2

合并 $6 x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x + 0}{6}$

解题步骤 5.2.4.2.2

将 $6 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

解题步骤 5.2.4.3

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.3.1

约去公因数。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = \frac{6 x}{6}$

解题步骤 5.2.4.3.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (2 x + \frac{1}{3}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6})$ 。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

运用分配律。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.2.1

约去公因数。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = 2 (\frac{x}{2}) + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.2.2

重写表达式。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (- \frac{1}{6}) + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.3.3.1

将 $- \frac{1}{6}$ 中前置负号移到分子中。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{6}) + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.3.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 (3)}) + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.3.3

约去公因数。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 2 (\frac{- 1}{2 \cdot 3}) + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.3.4

重写表达式。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + \frac{- 1}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3.4

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.4

合并 $x - \frac{1}{3} + \frac{1}{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $- \frac{1}{3}$ 和 $\frac{1}{3}$ 相加。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x + 0$

解题步骤 5.3.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{x}{2} - \frac{1}{6}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$ 为 $f (x) = 2 x + \frac{1}{3}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{2} - \frac{1}{6}$

初级微积分 示例

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