初级微积分示例

$f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$

解题步骤 1

将 $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ 写为等式。

$y = \ln (x + 2) + \ln (3)$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \ln (y + 2) + \ln (3)$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\ln (y + 2) + \ln (3) = x$ 。

$\ln (y + 2) + \ln (3) = x$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\ln ((y + 2) \cdot 3) = x$

解题步骤 3.2.2

运用分配律。

$\ln (y \cdot 3 + 2 \cdot 3) = x$

解题步骤 3.2.3

化简表达式。

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解题步骤 3.2.3.1

将 $3$ 移到 $y$ 的左侧。

$\ln (3 \cdot y + 2 \cdot 3) = x$

解题步骤 3.2.3.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\ln (3 y + 6) = x$

解题步骤 3.3

要求解 $y$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (3 y + 6)} = e^{x}$

解题步骤 3.4

使用对数的定义将 $\ln (3 y + 6) = x$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{x} = 3 y + 6$

解题步骤 3.5

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.5.1

将方程重写为 $3 y + 6 = e^{x}$ 。

$3 y + 6 = e^{x}$

解题步骤 3.5.2

从等式两边同时减去 $6$ 。

$3 y = e^{x} - 6$

解题步骤 3.5.3

将 $3 y = e^{x} - 6$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.5.3.1

将 $3 y = e^{x} - 6$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

解题步骤 3.5.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.5.3.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y}{3} = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

解题步骤 3.5.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{e^{x}}{3} + \frac{- 6}{3}$

解题步骤 3.5.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.5.3.3.1

用 $- 6$ 除以 $3$ 。

$y = \frac{e^{x}}{3} - 2$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ 是否为 $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3))$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln (x + 2) + \ln (3)}}{3} - 2$

解题步骤 5.2.3

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{e^{\ln ((x + 2) \cdot 3)}}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4

化简每一项。

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解题步骤 5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 5.2.4.1.1

指数函数和对数函数互为反函数。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{(x + 2) \cdot 3}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.1.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{x \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.1.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 2 \cdot 3}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.1.4

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 \cdot x + 6}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.1.5

从 $3 x + 6$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.2.4.1.5.1

从 $3 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x) + 6}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.1.5.2

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 x + 3 \cdot 2}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.1.5.3

从 $3 x + 3 \cdot 2$ 中分解出因数 $3$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.4.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = \frac{3 (x + 2)}{3} - 2$

解题步骤 5.2.4.2.2

用 $x + 2$ 除以 $1$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 2 - 2$

解题步骤 5.2.5

合并 $x + 2 - 2$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.5.1

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x + 0$

解题步骤 5.2.5.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\ln (x + 2) + \ln (3)) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{e^{x}}{3} - 2)$ 。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$

解题步骤 5.3.3

合并 $\ln ((\frac{e^{x}}{3} - 2) + 2) + \ln (3)$ 中相反的项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} + 0) + \ln (3)$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\frac{e^{x}}{3}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3}) + \ln (3)$

解题步骤 5.3.4

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

解题步骤 5.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (\frac{e^{x}}{3} \cdot 3)$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = \ln (e^{x})$

解题步骤 5.3.6

使用对数规则把 $x$ 移到指数外部。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \ln (e)$

解题步骤 5.3.7

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x \cdot 1$

解题步骤 5.3.8

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{e^{x}}{3} - 2) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$ 为 $f (x) = \ln (x + 2) + \ln (3)$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{e^{x}}{3} - 2$

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