初级微积分示例

$f (x) = 3^{x + 1} - 2$

解题步骤 1

将 $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ 写为等式。

$y = 3^{x + 1} - 2$

解题步骤 2

交换变量。

$x = 3^{y + 1} - 2$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $3^{y + 1} - 2 = x$ 。

$3^{y + 1} - 2 = x$

解题步骤 3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$3^{y + 1} = x + 2$

解题步骤 3.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{y + 1}) = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.4

通过将 $y + 1$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{y + 1})$ 。

$(y + 1) \ln (3) = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.5

化简左边。

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解题步骤 3.5.1

化简 $(y + 1) \ln (3)$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

运用分配律。

$y \ln (3) + 1 \ln (3) = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.5.1.2

将 $\ln (3)$ 乘以 $1$ 。

$y \ln (3) + \ln (3) = \ln (x + 2)$

解题步骤 3.6

将所有包含对数的项移到等式左边。

$y \ln (3) + \ln (3) - \ln (x + 2) = 0$

解题步骤 3.7

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$y \ln (3) + \ln (\frac{3}{x + 2}) = 0$

解题步骤 3.8

从等式两边同时减去 $\ln (\frac{3}{x + 2})$ 。

$y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$

解题步骤 3.9

将 $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 3.9.1

将 $y \ln (3) = - \ln (\frac{3}{x + 2})$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

解题步骤 3.9.2

化简左边。

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解题步骤 3.9.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.9.2.1.1

约去公因数。

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

解题步骤 3.9.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- \ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

解题步骤 3.9.3

化简右边。

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解题步骤 3.9.3.1

将负号移到分数的前面。

$y = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ 是否为 $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (3^{x + 1} - 2)$ 。

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{(3^{x + 1} - 2) + 2})}{\ln (3)}$

解题步骤 5.2.3

化简分母。

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解题步骤 5.2.3.1

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1} + 0})}{\ln (3)}$

解题步骤 5.2.3.2

将 $3^{x + 1}$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (3^{x + 1} - 2) = - \frac{\ln (\frac{3}{3^{x + 1}})}{\ln (3)}$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)})$ 。

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{(- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) + 1} - 2$

解题步骤 5.3.3

化简每一项。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)} + \frac{\ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

解题步骤 5.3.3.2

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}) = 3^{\frac{- \ln (\frac{3}{x + 2}) + \ln (3)}{\ln (3)}} - 2$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$ 为 $f (x) = 3^{x + 1} - 2$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = - \frac{\ln (\frac{3}{x + 2})}{\ln (3)}$

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