初级微积分示例

$f (x) = \frac{3}{x + 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{3}{x + 1}$ 写为等式。

$y = \frac{3}{x + 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{3}{y + 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $\frac{3}{y + 1} = x$ 。

$\frac{3}{y + 1} = x$

解题步骤 3.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$y + 1, 1$

解题步骤 3.2.2

去掉圆括号。

$y + 1, 1$

解题步骤 3.2.3

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$y + 1$

解题步骤 3.3

将 $\frac{3}{y + 1} = x$ 中的每一项乘以 $y + 1$ 以消去分数。

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解题步骤 3.3.1

将 $\frac{3}{y + 1} = x$ 中的每一项乘以 $y + 1$ 。

$\frac{3}{y + 1} (y + 1) = x (y + 1)$

解题步骤 3.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.1

约去 $y + 1$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3}{y + 1} (y + 1) = x (y + 1)$

解题步骤 3.3.2.1.2

重写表达式。

$3 = x (y + 1)$

解题步骤 3.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.3.1

运用分配律。

$3 = x y + x \cdot 1$

解题步骤 3.3.3.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$3 = x y + x$

解题步骤 3.4

求解方程。

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解题步骤 3.4.1

将方程重写为 $x y + x = 3$ 。

$x y + x = 3$

解题步骤 3.4.2

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x y = 3 - x$

解题步骤 3.4.3

将 $x y = 3 - x$ 中的每一项除以 $x$ 并化简。

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解题步骤 3.4.3.1

将 $x y = 3 - x$ 中的每一项都除以 $x$ 。

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 3.4.3.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.3.2.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x y}{x} = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 3.4.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 3.4.3.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.3.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.3.3.1.1

约去公因数。

$y = \frac{3}{x} + \frac{- x}{x}$

解题步骤 3.4.3.3.1.2

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{3}{x} - 1$

解题步骤 4

使用 $f^{- 1} (x)$ 替换 $y$ ，以得到最终答案。

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$ 是否为 $f (x) = \frac{3}{x + 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{3}{x + 1})$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = \frac{3}{\frac{3}{x + 1}} - 1$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = 3 (\frac{x + 1}{3}) - 1$

解题步骤 5.2.3.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.2.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = 3 (\frac{x + 1}{3}) - 1$

解题步骤 5.2.3.2.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{3}{x + 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{3}{x} - 1)$ 。

$f (\frac{3}{x} - 1) = \frac{3}{(\frac{3}{x} - 1) + 1}$

解题步骤 5.3.3

化简分母。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{3}{x} - 1) = \frac{3}{\frac{3}{x} + 0}$

解题步骤 5.3.3.2

将 $\frac{3}{x}$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{3}{x} - 1) = \frac{3}{\frac{3}{x}}$

解题步骤 5.3.4

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{3}{x} - 1) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.3.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.5.1

约去公因数。

$f (\frac{3}{x} - 1) = 3 (\frac{x}{3})$

解题步骤 5.3.5.2

重写表达式。

$f (\frac{3}{x} - 1) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$ 为 $f (x) = \frac{3}{x + 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{3}{x} - 1$

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