初级微积分示例

$f (x) = - \sqrt{x + 1}$

解题步骤 1

将 $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ 写为等式。

$y = - \sqrt{x + 1}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = - \sqrt{y + 1}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $- \sqrt{y + 1} = x$ 。

$- \sqrt{y + 1} = x$

解题步骤 3.2

将 $- \sqrt{y + 1} = x$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- \sqrt{y + 1} = x$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \sqrt{y + 1}}{- 1} = \frac{x}{- 1}$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\sqrt{y + 1}}{1} = \frac{x}{- 1}$

解题步骤 3.2.2.2

用 $\sqrt{y + 1}$ 除以 $1$ 。

$\sqrt{y + 1} = \frac{x}{- 1}$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

移动 $\frac{x}{- 1}$ 中分母的负号。

$\sqrt{y + 1} = - 1 \cdot x$

解题步骤 3.2.3.2

将 $- 1 \cdot x$ 重写为 $- x$ 。

$\sqrt{y + 1} = - x$

解题步骤 3.3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{y + 1}}^{2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 3.4

化简方程的两边。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{y + 1}$ 重写成 ${(y + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

将 ${({(y + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(y + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(y + 1)}^{1} = {(- x)}^{2}$

解题步骤 3.4.2.1.2

化简。

$y + 1 = {(- x)}^{2}$

解题步骤 3.4.3

化简右边。

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解题步骤 3.4.3.1

化简 ${(- x)}^{2}$ 。

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解题步骤 3.4.3.1.1

对 $- x$ 运用乘积法则。

$y + 1 = {(- 1)}^{2} x^{2}$

解题步骤 3.4.3.1.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$y + 1 = 1 x^{2}$

解题步骤 3.4.3.1.3

将 $x^{2}$ 乘以 $1$ 。

$y + 1 = x^{2}$

解题步骤 3.5

从等式两边同时减去 $1$ 。

$y = x^{2} - 1$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ 是否为 $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (- \sqrt{x + 1})$ 。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- \sqrt{x + 1})}^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3

化简每一项。

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解题步骤 5.2.3.1

对 $- \sqrt{x + 1}$ 运用乘积法则。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(- 1)}^{2} {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.2

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = 1 {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.3

将 ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {\sqrt{x + 1}}^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.4

将 ${\sqrt{x + 1}}^{2}$ 重写为 $x + 1$ 。

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解题步骤 5.2.3.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 1}$ 重写成 ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1$

解题步骤 5.2.3.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1$

解题步骤 5.2.3.4.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

解题步骤 5.2.3.4.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.3.4.4.1

约去公因数。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{2}{2}} - 1$

解题步骤 5.2.3.4.4.2

重写表达式。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = (x + 1) - 1$

解题步骤 5.2.3.4.5

化简。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 1 - 1$

解题步骤 5.2.4

合并 $x + 1 - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 5.2.4.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x + 0$

解题步骤 5.2.4.2

将 $x$ 和 $0$ 相加。

$f^{- 1} (- \sqrt{x + 1}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (x^{2} - 1)$ 。

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{(x^{2} - 1) + 1}$

解题步骤 5.3.3

将 $- 1$ 和 $1$ 相加。

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2} + 0}$

解题步骤 5.3.4

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f (x^{2} - 1) = - \sqrt{x^{2}}$

解题步骤 5.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$f (x^{2} - 1) = - x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$ 为 $f (x) = - \sqrt{x + 1}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 1$

初级微积分 示例

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