初级微积分示例

$f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$

解题步骤 1

将 $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ 写为等式。

$y = \frac{6 x}{3 x - 5}$

解题步骤 2

交换变量。

$x = \frac{6 y}{3 y - 5}$

解题步骤 3

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.1

将方程乘以 $3 y - 5$ 。

$(3 y - 5) (x) = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

运用分配律。

$3 y x - 5 x = (\frac{6 y}{3 y - 5}) (3 y - 5)$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

约去 $3 y - 5$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.1.1

约去公因数。

$3 y x - 5 x = \frac{6 y}{3 y - 5} (3 y - 5)$

解题步骤 3.3.1.2

重写表达式。

$3 y x - 5 x = 6 y$

解题步骤 3.4

求解 $y$ 。

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解题步骤 3.4.1

从等式两边同时减去 $6 y$ 。

$3 y x - 5 x - 6 y = 0$

解题步骤 3.4.2

在等式两边都加上 $5 x$ 。

$3 y x - 6 y = 5 x$

解题步骤 3.4.3

从 $3 y x - 6 y$ 中分解出因数 $3 y$ 。

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解题步骤 3.4.3.1

从 $3 y x$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$3 y (x) - 6 y = 5 x$

解题步骤 3.4.3.2

从 $- 6 y$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$3 y (x) + 3 y (- 2) = 5 x$

解题步骤 3.4.3.3

从 $3 y (x) + 3 y (- 2)$ 中分解出因数 $3 y$ 。

$3 y (x - 2) = 5 x$

解题步骤 3.4.4

将 $3 y (x - 2) = 5 x$ 中的每一项除以 $3 (x - 2)$ 并化简。

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解题步骤 3.4.4.1

将 $3 y (x - 2) = 5 x$ 中的每一项都除以 $3 (x - 2)$ 。

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

解题步骤 3.4.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.4.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 y (x - 2)}{3 (x - 2)} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

解题步骤 3.4.4.2.1.2

重写表达式。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

解题步骤 3.4.4.2.2

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.4.2.2.1

约去公因数。

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

解题步骤 3.4.4.2.2.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

解题步骤 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

解题步骤 5

验证 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ 是否为 $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ 的反函数。

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解题步骤 5.1

要验证反函数，请检查 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ 是否成立。

解题步骤 5.2

计算 $f^{- 1} (f (x))$ 。

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解题步骤 5.2.1

建立复合结果函数。

$f^{- 1} (f (x))$

解题步骤 5.2.2

通过将 $f$ 的值代入 $f^{- 1}$ 来计算 $f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5})$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{5 (\frac{6 x}{3 x - 5})}{3 ((\frac{6 x}{3 x - 5}) - 2)}$

解题步骤 5.2.3

组合 $5$ 和 $\frac{6 x}{3 x - 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2)}$

解题步骤 5.2.4

化简分母。

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解题步骤 5.2.4.1

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} - 2 \cdot \frac{3 x - 5}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{3 x - 5}{3 x - 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x}{3 x - 5} + \frac{- 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.3

在公分母上合并分子。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4

以因式分解的形式重写 $\frac{6 x - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5}$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.1

从 $6 x - 2 (3 x - 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.2.4.4.1.1

从 $6 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) - 2 (3 x - 5)}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4.1.2

从 $- 2 (3 x - 5)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4.1.3

从 $2 (3 x) + 2 (- (3 x - 5))$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x - 5))}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4.2

运用分配律。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - (3 x) + 5)}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4.4

将 $- 1$ 乘以 $- 5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (3 x - 3 x + 5)}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4.5

从 $3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 (0 + 5)}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.4.6

将 $0$ 和 $5$ 相加。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{2 \cdot 5}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.4.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{5 (6 x)}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.5

将 $5$ 乘以 $6$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{3 (\frac{10}{3 x - 5})}$

解题步骤 5.2.6

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.1

组合 $3$ 和 $\frac{10}{3 x - 5}$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{3 \cdot 10}{3 x - 5}}$

解题步骤 5.2.6.2

将 $3$ 乘以 $10$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{\frac{30 x}{3 x - 5}}{\frac{30}{3 x - 5}}$

解题步骤 5.2.7

将分子乘以分母的倒数。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

解题步骤 5.2.8

约去 $30$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.8.1

从 $30 x$ 中分解出因数 $30$ 。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 (x)}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

解题步骤 5.2.8.2

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{30 x}{3 x - 5} \cdot \frac{3 x - 5}{30}$

解题步骤 5.2.8.3

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

解题步骤 5.2.9

约去 $3 x - 5$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.9.1

约去公因数。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = \frac{x}{3 x - 5} \cdot (3 x - 5)$

解题步骤 5.2.9.2

重写表达式。

$f^{- 1} (\frac{6 x}{3 x - 5}) = x$

解题步骤 5.3

计算 $f (f^{- 1} (x))$ 。

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解题步骤 5.3.1

建立复合结果函数。

$f (f^{- 1} (x))$

解题步骤 5.3.2

通过将 $f^{- 1}$ 的值代入 $f$ 来计算 $f (\frac{5 x}{3 (x - 2)})$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{6 (\frac{5 x}{3 (x - 2)})}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

解题步骤 5.3.3

组合 $6$ 和 $\frac{5 x}{3 (x - 2)}$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

解题步骤 5.3.4

化简分母。

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解题步骤 5.3.4.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.1.1

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{3 (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) - 5}$

解题步骤 5.3.4.1.2

重写表达式。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5}$

解题步骤 5.3.4.2

要将 $- 5$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} - 5 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{x - 2}{x - 2}$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x}{x - 2} + \frac{- 5 (x - 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.4

在公分母上合并分子。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5

以因式分解的形式重写 $\frac{5 x - 5 (x - 2)}{x - 2}$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1

从 $5 x - 5 (x - 2)$ 中分解出因数 $5$ 。

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解题步骤 5.3.4.5.1.1

从 $5 x$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) - 5 (x - 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.1.2

从 $- 5 (x - 2)$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x) + 5 (- (x - 2))}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.1.3

从 $5 (x) + 5 (- (x - 2))$ 中分解出因数 $5$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - (x - 2))}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.2

运用分配律。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.3

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (x - x + 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.4

从 $x$ 中减去 $x$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 (0 + 2)}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.5.5

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{5 \cdot 2}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.4.6

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{6 (5 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.5

将 $6$ 乘以 $5$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{30 x}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.6

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{30 x}{3 (x - 2)}$ 。

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解题步骤 5.3.6.1

从 $30 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.6.2

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{3 (10 x)}{3 (x - 2)}}{\frac{10}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.6.3

重写表达式。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{\frac{10 x}{x - 2}}{\frac{10}{x - 2}}$

解题步骤 5.3.7

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

解题步骤 5.3.8

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.8.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 (x)}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

解题步骤 5.3.8.2

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{10 x}{x - 2} \cdot \frac{x - 2}{10}$

解题步骤 5.3.8.3

重写表达式。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.3.9

约去 $x - 2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.9.1

约去公因数。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = \frac{x}{x - 2} \cdot (x - 2)$

解题步骤 5.3.9.2

重写表达式。

$f (\frac{5 x}{3 (x - 2)}) = x$

解题步骤 5.4

由于 $f^{- 1} (f (x)) = x$ 和 $f (f^{- 1} (x)) = x$ ，因此 $f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$ 为 $f (x) = \frac{6 x}{3 x - 5}$ 的反函数。

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x}{3 (x - 2)}$

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