初级微积分示例

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$

解题步骤 1

将 $x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16$ 设为等于 $0$ 。

$x^{4} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x - 16 = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.1

重新组合项。

$x^{4} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} - 16 - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.3

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

${(x^{2})}^{2} - 4^{2} - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 4$ 。

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 4) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.5

化简。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$(x^{2} + 4) (x^{2} - 2^{2}) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.5.2

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.5.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$(x^{2} + 4) ((x + 2) (x - 2)) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.5.2.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) - 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.6

从 $- 2 x^{3} - 6 x^{2} - 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.6.1

从 $- 2 x^{3}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) - 6 x^{2} - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.6.2

从 $- 6 x^{2}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) - 4 x = 0$

解题步骤 2.1.6.3

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

解题步骤 2.1.6.4

从 $2 x (- x^{2}) + 2 x (- 3 x)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2) = 0$

解题步骤 2.1.6.5

从 $2 x (- x^{2} - 3 x) + 2 x (- 2)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.7.1

分组因式分解。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.7.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = - 1 \cdot - 2 = 2$ 并且它们的和为 $b = - 3$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.7.1.1.1

从 $- 3 x$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 3 x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.1.1.2

把 $- 3$ 重写为 $- 1$ 加 $- 2$

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} + (- 1 - 2) x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.1.1.3

运用分配律。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x^{2} - 1 x - 2 x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.7.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x^{2} - 1 x) - 2 x - 2) = 0$

解题步骤 2.1.7.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (x (- x - 1) + 2 (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.7.1.3

通过因式分解出最大公因数 $- x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x ((- x - 1) (x + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.7.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.8

从 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2) + 2 x (- x - 1) (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.8.1

从 $(x^{2} + 4) (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + 2 x (- x - 1) (x + 2) = 0$

解题步骤 2.1.8.2

从 $2 x (- x - 1) (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.8.3

从 $(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2)) + (x + 2) (2 x (- x - 1))$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$(x + 2) ((x^{2} + 4) (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.9

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 4) (x - 2)$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.9.1

运用分配律。

$(x + 2) (x^{2} (x - 2) + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.9.2

运用分配律。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 (x - 2) + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.9.3

运用分配律。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.10

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.10.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.10.1.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.10.1.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$(x + 2) (x^{2} x + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.10.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$(x + 2) (x^{2 + 1} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.10.1.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$(x + 2) (x^{3} + x^{2} \cdot - 2 + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.10.2

将 $- 2$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x + 4 \cdot - 2 + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.10.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.11

运用分配律。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 x (- x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

解题步骤 2.1.12

使用乘法的交换性质重写。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) + 2 x \cdot - 1) = 0$

解题步骤 2.1.13

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x \cdot x) - 2 x) = 0$

解题步骤 2.1.14

化简每一项。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.14.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.14.1.1

移动 $x$ 。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 (x \cdot x)) - 2 x) = 0$

解题步骤 2.1.14.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 + 2 \cdot (- 1 x^{2}) - 2 x) = 0$

解题步骤 2.1.14.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$(x + 2) (x^{3} - 2 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x^{2} - 2 x) = 0$

解题步骤 2.1.15

从 $- 2 x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 4 x - 8 - 2 x) = 0$

解题步骤 2.1.16

从 $4 x$ 中减去 $2 x$ 。

$(x + 2) (x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8) = 0$

解题步骤 2.1.17

因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.17.1

以因式分解的形式重写 $x^{3} - 4 x^{2} + 2 x - 8$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.17.1.1

从每组中因式分解出最大公因数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.1.17.1.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) ((x^{3} - 4 x^{2}) + 2 x - 8) = 0$

解题步骤 2.1.17.1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x^{2} (x - 4) + 2 (x - 4)) = 0$

解题步骤 2.1.17.1.2

通过因式分解出最大公因数 $x - 4$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) ((x - 4) (x^{2} + 2)) = 0$

解题步骤 2.1.17.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

$x - 4 = 0$

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.3.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.3.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.4

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.4.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 2 = 0$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.1

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x^{2} = - 2$

解题步骤 2.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

解题步骤 2.5.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 2}$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.3.1

将 $- 2$ 重写为 $- 1 (2)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

解题步骤 2.5.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (2)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

点击获取更多步骤...

解题步骤 2.5.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i \sqrt{2}$

解题步骤 2.5.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x + 2) (x - 4) (x^{2} + 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 2, 4, i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

解题步骤 3

初级微积分 示例

初级微积分示例