初级微积分示例

$2 x^{4} + 3 x^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$ , $x^{2} + y^{2} = 1$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $y^{2}$ 。

$x^{2} = 1 - y^{2}$

解题步骤 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1 - y^{2}}$

解题步骤 3

化简 $\pm \sqrt{1 - y^{2}}$ 。

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解题步骤 3.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{1^{2} - y^{2}}$

解题步骤 3.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 1$ 和 $b = y$ 。

$x = \pm \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

解题步骤 4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

解题步骤 4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

解题步骤 4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

$x = - \sqrt{(1 + y) (1 - y)}$

解题步骤 5

使用表达式中的 $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ 替换变量 $x$ 。

$2 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6

化简每一项。

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解题步骤 6.1

将 ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{4}$ 重写为 ${((1 + y) (1 - y))}^{2}$ 。

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解题步骤 6.1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ 重写成 ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.1.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $4$ 。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{4}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.1.4

约去 $4$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.4.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.4.2.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2.2

约去公因数。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2.3

重写表达式。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{1}} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.1.4.2.4

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 {((1 + y) (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.2

使用 FOIL 方法展开 $(1 + y) (1 - y)$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$2 {(1 (1 - y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$2 {(1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 {(1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3.1.2

将 $- y$ 乘以 $1$ 。

$2 {(1 - y + y \cdot 1 + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3.1.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 {(1 - y + y + y (- y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 {(1 - y + y - y \cdot y)}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.3.1.5.1

移动 $y$ 。

$2 {(1 - y + y - (y \cdot y))}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 {(1 - y + y - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$2 {(1 + 0 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.3.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 {(1 - y^{2})}^{2} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.4

将 ${(1 - y^{2})}^{2}$ 重写为 $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ 。

$2 ((1 - y^{2}) (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.5

使用 FOIL 方法展开 $(1 - y^{2}) (1 - y^{2})$ 。

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解题步骤 6.5.1

运用分配律。

$2 (1 (1 - y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.5.2

运用分配律。

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} (1 - y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.5.3

运用分配律。

$2 (1 \cdot 1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.6.1

化简每一项。

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解题步骤 6.6.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 + 1 (- y^{2}) - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.2

将 $- y^{2}$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} \cdot 1 - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - y^{2} (- y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2} y^{2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.5

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.6.1.5.1

移动 $y^{2}$ 。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 (y^{2} y^{2})) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{2 + 2}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} - 1 \cdot - 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + 1 y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.1.7

将 $y^{4}$ 乘以 $1$ 。

$2 (1 - y^{2} - y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.6.2

从 $- y^{2}$ 中减去 $y^{2}$ 。

$2 (1 - 2 y^{2} + y^{4}) + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.7

运用分配律。

$2 \cdot 1 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.8

化简。

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解题步骤 6.8.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 + 2 (- 2 y^{2}) + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.8.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {(\sqrt{(1 + y) (1 - y)})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.9

将 ${\sqrt{(1 + y) (1 - y)}}^{2}$ 重写为 $(1 + y) (1 - y)$ 。

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解题步骤 6.9.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{(1 + y) (1 - y)}$ 重写成 ${((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}}$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {({((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2}})}^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.9.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{1}{2} \cdot 2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.9.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.9.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.9.4.1

约去公因数。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{\frac{2}{2}} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.9.4.2

重写表达式。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 {((1 + y) (1 - y))}^{1} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.9.5

化简。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 ((1 + y) (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.10

使用 FOIL 方法展开 $(1 + y) (1 - y)$ 。

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解题步骤 6.10.1

运用分配律。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 (1 - y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.10.2

运用分配律。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.10.3

运用分配律。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.11.1

化简每一项。

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解题步骤 6.11.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11.1.2

将 $- y$ 乘以 $1$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y \cdot 1 + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11.1.3

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y + y (- y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y \cdot y) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11.1.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 6.11.1.5.1

移动 $y$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - (y \cdot y)) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11.1.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y + y - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11.2

将 $- y$ 和 $y$ 相加。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 + 0 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.11.3

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 (1 - y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.12

运用分配律。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 \cdot 1 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.13

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 + 3 (- y^{2})) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.14

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + (3 - 3 y^{2}) y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.15

运用分配律。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2} y^{2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.16

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 6.16.1

移动 $y^{2}$ 。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 (y^{2} y^{2}) + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.16.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{2 + 2} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 6.16.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 - 4 y^{2} + 2 y^{4} + 3 y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 7

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 7.1

将 $- 4 y^{2}$ 和 $3 y^{2}$ 相加。

$2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$

解题步骤 7.2

合并 $2 + 2 y^{4} - y^{2} - 3 y^{4} + y^{4} + y^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.2.1

将 $- y^{2}$ 和 $y^{2}$ 相加。

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4} + 0$

解题步骤 7.2.2

将 $2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$ 和 $0$ 相加。

$2 + 2 y^{4} - 3 y^{4} + y^{4}$

解题步骤 7.3

从 $2 y^{4}$ 中减去 $3 y^{4}$ 。

$2 - y^{4} + y^{4}$

解题步骤 7.4

合并 $2 - y^{4} + y^{4}$ 中相反的项。

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解题步骤 7.4.1

将 $- y^{4}$ 和 $y^{4}$ 相加。

$2 + 0$

解题步骤 7.4.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$2$

初级微积分 示例

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