初级微积分示例

$3 x^{4} - 10 x^{3} - 9 x^{2} + 40 x - 12$

解题步骤 1

重新组合项。

$- 10 x^{3} + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 2

从 $- 10 x^{3} + 40 x$ 中分解出因数 $- 10 x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $- 10 x^{3}$ 中分解出因数 $- 10 x$ 。

$- 10 x (x^{2}) + 40 x + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 2.2

从 $40 x$ 中分解出因数 $- 10 x$ 。

$- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 2.3

从 $- 10 x (x^{2}) - 10 x (- 4)$ 中分解出因数 $- 10 x$ 。

$- 10 x (x^{2} - 4) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 3

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- 10 x (x^{2} - 2^{2}) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 4

因数。

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解题步骤 4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$- 10 x ((x + 2) (x - 2)) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 4.2

去掉多余的括号。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 5

从 $3 x^{4} - 9 x^{2} - 12$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 5.1

从 $3 x^{4}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) - 9 x^{2} - 12$

解题步骤 5.2

从 $- 9 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4}) + 3 (- 3 x^{2}) - 12$

解题步骤 5.3

从 $- 12$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

解题步骤 5.4

从 $3 x^{4} + 3 (- 3 x^{2})$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$

解题步骤 5.5

从 $3 (x^{4} - 3 x^{2}) + 3 \cdot - 4$ 中分解出因数 $3$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x^{4} - 3 x^{2} - 4)$

解题步骤 6

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ({(x^{2})}^{2} - 3 x^{2} - 4)$

解题步骤 7

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (u^{2} - 3 u - 4)$

解题步骤 8

使用 AC 法来对 $u^{2} - 3 u - 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 4$ ，和为 $- 3$ 。

$- 4, 1$

解题步骤 8.2

使用这些整数书写分数形式。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((u - 4) (u + 1))$

解题步骤 9

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 4) (x^{2} + 1))$

解题步骤 10

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 1))$

解题步骤 11

因数。

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解题步骤 11.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1))$

解题步骤 11.2

去掉多余的括号。

$- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

解题步骤 12

从 $- 10 x (x + 2) (x - 2) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

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解题步骤 12.1

从 $- 10 x (x + 2) (x - 2)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + 3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$

解题步骤 12.2

从 $3 (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$

解题步骤 12.3

从 $(x + 2) (x - 2) (- 10 x) + (x + 2) (x - 2) ((3) (x^{2} + 1))$ 中分解出因数 $(x + 2) (x - 2)$ 。

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + (3) (x^{2} + 1))$

解题步骤 13

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3 \cdot 1)$

解题步骤 14

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$(x + 2) (x - 2) (- 10 x + 3 x^{2} + 3)$

解题步骤 15

重新排序项。

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 x + 3)$

解题步骤 16

因数。

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解题步骤 16.1

分组因式分解。

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解题步骤 16.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 3 = 9$ 并且它们的和为 $b = - 10$ 。

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解题步骤 16.1.1.1

从 $- 10 x$ 中分解出因数 $- 10$ 。

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 10 (x) + 3)$

解题步骤 16.1.1.2

把 $- 10$ 重写为 $- 1$ 加 $- 9$

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} + (- 1 - 9) x + 3)$

解题步骤 16.1.1.3

运用分配律。

$(x + 2) (x - 2) (3 x^{2} - 1 x - 9 x + 3)$

解题步骤 16.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 16.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) (x - 2) ((3 x^{2} - 1 x) - 9 x + 3)$

解题步骤 16.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x - 2) (x (3 x - 1) - 3 (3 x - 1))$

解题步骤 16.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) (x - 2) ((3 x - 1) (x - 3))$

解题步骤 16.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (x - 2) (3 x - 1) (x - 3)$

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