初级微积分示例

$3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 16, \pm 2, \pm 8, \pm 4$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 16, \pm 5.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}, \pm 8, \pm 2.\overline{6}, \pm 4, \pm 1.\overline{3}$

解题步骤 1.3

代入 $- 2$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 2$ 代入多项式。

$3 {(- 2)}^{3} + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

解题步骤 1.3.2

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot - 8 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$- 24 + 16 {(- 2)}^{2} + 28 \cdot - 2 + 16$

解题步骤 1.3.4

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 24 + 16 \cdot 4 + 28 \cdot - 2 + 16$

解题步骤 1.3.5

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$- 24 + 64 + 28 \cdot - 2 + 16$

解题步骤 1.3.6

将 $- 24$ 和 $64$ 相加。

$40 + 28 \cdot - 2 + 16$

解题步骤 1.3.7

将 $28$ 乘以 $- 2$ 。

$40 - 56 + 16$

解题步骤 1.3.8

从 $40$ 中减去 $56$ 。

$- 16 + 16$

解题步骤 1.3.9

将 $- 16$ 和 $16$ 相加。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 2$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16}{x + 2}$

解题步骤 1.5

用 $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ 除以 $x + 2$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$2$

$3 x^{3}$

$16 x^{2}$

$28 x$

$16$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$3 x^{2}$
	$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			+	$3 x^{3}$	+	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} + 6 x^{2}$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $10 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					+	$10 x^{2}$	+	$20 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $10 x^{2} + 20 x$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$3 x^{2}$	+	$10 x$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $8 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							+	$8 x$	+	$16$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $8 x + 16$ 中的所有符号

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$3 x^{2}$	+	$10 x$	+	$8$
$x$	+	$2$		$3 x^{3}$	+	$16 x^{2}$	+	$28 x$	+	$16$
			-	$3 x^{3}$	-	$6 x^{2}$
					+	$10 x^{2}$	+	$28 x$
					-	$10 x^{2}$	-	$20 x$
							+	$8 x$	+	$16$
							-	$8 x$	-	$16$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$3 x^{2} + 10 x + 8$

解题步骤 1.6

将 $3 x^{3} + 16 x^{2} + 28 x + 16$ 书写为因数的集合。

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 x + 8)$

解题步骤 2

分组因式分解。

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解题步骤 2.1

分组因式分解。

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解题步骤 2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 8 = 24$ 并且它们的和为 $b = 10$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $10 x$ 中分解出因数 $10$ 。

$(x + 2) (3 x^{2} + 10 (x) + 8)$

解题步骤 2.1.1.2

把 $10$ 重写为 $4$ 加 $6$

$(x + 2) (3 x^{2} + (4 + 6) x + 8)$

解题步骤 2.1.1.3

运用分配律。

$(x + 2) (3 x^{2} + 4 x + 6 x + 8)$

解题步骤 2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 2) ((3 x^{2} + 4 x) + 6 x + 8)$

解题步骤 2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 2) (x (3 x + 4) + 2 (3 x + 4))$

解题步骤 2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 4$ 来因式分解多项式。

$(x + 2) ((3 x + 4) (x + 2))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(x + 2) (3 x + 4) (x + 2)$

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