初级微积分示例

$x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(- 3)}^{4} - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 3$ 进行 $4$ 次方运算。

$81 - {(- 3)}^{3} - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

解题步骤 4.1.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$81 - - 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

解题步骤 4.1.3

将 $- 1$ 乘以 $- 27$ 。

$81 + 27 - 11 {(- 3)}^{2} - (- 3) - 12$

解题步骤 4.1.4

对 $- 3$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 + 27 - 11 \cdot 9 - (- 3) - 12$

解题步骤 4.1.5

将 $- 11$ 乘以 $9$ 。

$81 + 27 - 99 - (- 3) - 12$

解题步骤 4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$81 + 27 - 99 + 3 - 12$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $81$ 和 $27$ 相加。

$108 - 99 + 3 - 12$

解题步骤 4.2.2

从 $108$ 中减去 $99$ 。

$9 + 3 - 12$

解题步骤 4.2.3

将 $9$ 和 $3$ 相加。

$12 - 12$

解题步骤 4.2.4

从 $12$ 中减去 $12$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $- 3$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{4} - x^{3} - 11 x^{2} - x - 12}{x + 3}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 3)$ 并将 $(- 3)$ 的结果置于被除数 $(- 1)$ 的下一项下方。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$
	$1$	$- 4$

解题步骤 6.5

将结果 $(- 4)$ 中的最新项乘以除数 $(- 3)$ 并将 $(12)$ 的结果置于被除数 $(- 11)$ 的下一项下方。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$

解题步骤 6.7

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 3)$ 并将 $(- 3)$ 的结果置于被除数 $(- 1)$ 的下一项下方。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

解题步骤 6.9

将结果 $(- 4)$ 中的最新项乘以除数 $(- 3)$ 并将 $(12)$ 的结果置于被除数 $(- 12)$ 的下一项下方。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 3$	$1$	$- 1$	$- 11$	$- 1$	$- 12$
		$- 3$	$12$	$- 3$	$12$
	$1$	$- 4$	$1$	$- 4$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{3} + - 4 x^{2} + (1) x - 4$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$x^{3} - 4 x^{2} + x - 4$

解题步骤 7

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 3) (x^{3} - 4 x^{2}) + x - 4$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 3) + x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

$(x + 3) x^{2} (x - 4) + 1 (x - 4)$

解题步骤 8

通过因式分解出最大公因数 $x - 4$ 来因式分解多项式。

$(x + 3) (x - 4) (x^{2} + 1)$

解题步骤 9

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 9.1

重新组合项。

$- x^{3} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 9.2

从 $- x^{3} - x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 9.2.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x^{2} - x + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 9.2.2

从 $- x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x \cdot x^{2} - x \cdot 1 + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 9.2.3

从 $- x (x^{2}) - x (1)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x^{2} + 1) + x^{4} - 11 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 9.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} - 11 x^{2} - 12 = 0$

解题步骤 9.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- x (x^{2} + 1) + u^{2} - 11 u - 12 = 0$

解题步骤 9.5

使用 AC 法来对 $u^{2} - 11 u - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 11$ 。

$- 12, 1$

解题步骤 9.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$- x (x^{2} + 1) + (u - 12) (u + 1) = 0$

解题步骤 9.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 9.7

从 $- x (x^{2} + 1) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

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解题步骤 9.7.1

从 $- x (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} - 12) (x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 9.7.2

从 $(x^{2} - 12) (x^{2} + 1)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12) = 0$

解题步骤 9.7.3

从 $(x^{2} + 1) (- x) + (x^{2} + 1) (x^{2} - 12)$ 中分解出因数 $x^{2} + 1$ 。

$(x^{2} + 1) (- x + x^{2} - 12) = 0$

解题步骤 9.8

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x^{2} + 1) (- u + u^{2} - 12) = 0$

解题步骤 9.9

使用 AC 法来对 $- u + u^{2} - 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 12$ ，和为 $- 1$ 。

$- 4, 3$

解题步骤 9.9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x^{2} + 1) ((u - 4) (u + 3)) = 0$

解题步骤 9.10

因数。

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解题步骤 9.10.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x^{2} + 1) ((x - 4) (x + 3)) = 0$

解题步骤 9.10.2

去掉多余的括号。

$(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 11

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 11.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 1 = 0$ 。

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解题步骤 11.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 11.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 11.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 11.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 11.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 11.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 11.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 12

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 13

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 13.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 14

最终解为使 $(x^{2} + 1) (x - 4) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = i, - i, 4, - 3$

解题步骤 15

初级微积分 示例

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