初级微积分示例

$x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 7$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 7$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - 7$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

去掉圆括号。

${(- 7)}^{5} + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

解题步骤 4.2

化简每一项。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 7$ 进行 $5$ 次方运算。

$- 16807 + 7 {(- 7)}^{4} + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

解题步骤 4.2.2

对 $- 7$ 进行 $4$ 次方运算。

$- 16807 + 7 \cdot 2401 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

解题步骤 4.2.3

将 $7$ 乘以 $2401$ 。

$- 16807 + 16807 + 2 {(- 7)}^{3} + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

解题步骤 4.2.4

对 $- 7$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 16807 + 16807 + 2 \cdot - 343 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

解题步骤 4.2.5

将 $2$ 乘以 $- 343$ 。

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 {(- 7)}^{2} - 7 + 7$

解题步骤 4.2.6

对 $- 7$ 进行 $2$ 次方运算。

$- 16807 + 16807 - 686 + 14 \cdot 49 - 7 + 7$

解题步骤 4.2.7

将 $14$ 乘以 $49$ 。

$- 16807 + 16807 - 686 + 686 - 7 + 7$

解题步骤 4.3

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 16807$ 和 $16807$ 相加。

$0 - 686 + 686 - 7 + 7$

解题步骤 4.3.2

从 $0$ 中减去 $686$ 。

$- 686 + 686 - 7 + 7$

解题步骤 4.3.3

将 $- 686$ 和 $686$ 相加。

$0 - 7 + 7$

解题步骤 4.3.4

从 $0$ 中减去 $7$ 。

$- 7 + 7$

解题步骤 4.3.5

将 $- 7$ 和 $7$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $- 7$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + 7$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{5} + 7 x^{4} + 2 x^{3} + 14 x^{2} + x + 7}{x + 7}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(7)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$
	$1$	$0$

解题步骤 6.5

将结果 $(0)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(2)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$
	$1$	$0$	$2$

解题步骤 6.7

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 14)$ 的结果置于被除数 $(14)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$
	$1$	$0$	$2$	$0$

解题步骤 6.9

将结果 $(0)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(0)$ 的结果置于被除数 $(1)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

解题步骤 6.11

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 7)$ 并将 $(- 7)$ 的结果置于被除数 $(7)$ 的下一项下方。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$

解题步骤 6.12

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 7$	$1$	$7$	$2$	$14$	$1$	$7$
		$- 7$	$0$	$- 14$	$0$	$- 7$
	$1$	$0$	$2$	$0$	$1$	$0$

解题步骤 6.13

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{4} + 0 x^{3} + 2 x^{2} + 0 x + 1$

解题步骤 6.14

化简商多项式。

$x^{4} + 2 x^{2} + 1$

解题步骤 7

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$(x + 7) {(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1$

解题步骤 8

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$(x + 7) u^{2} + 2 u + 1$

解题步骤 9

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$(x + 7) + u^{2} + 2 u + 1^{2}$

解题步骤 9.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 9.3

重写多项式。

$(x + 7) + u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}$

解题步骤 9.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$(x + 7) + {(u + 1)}^{2}$

$(x + 7) {(u + 1)}^{2}$

解题步骤 10

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 7) {(x^{2} + 1)}^{2}$

解题步骤 11

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 11.1

重新组合项。

$x^{5} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.2

从 $x^{5} + 2 x^{3} + x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 11.2.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + 2 x^{3} + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.2.2

从 $2 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.2.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.2.4

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.2.5

从 $x \cdot x^{4} + x (2 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1 + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.2.6

从 $x (x^{4} + 2 x^{2}) + x \cdot 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.3

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.4

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (u^{2} + 2 u + 1) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.5

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 11.5.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x (u^{2} + 2 u + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.5.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 11.5.3

重写多项式。

$x (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.5.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$x {(u + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.6

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 x^{4} + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.7

从 $7 x^{4} + 14 x^{2} + 7$ 中分解出因数 $7$ 。

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解题步骤 11.7.1

从 $7 x^{4}$ 中分解出因数 $7$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 14 x^{2} + 7 = 0$

解题步骤 11.7.2

从 $14 x^{2}$ 中分解出因数 $7$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 = 0$

解题步骤 11.7.3

从 $7$ 中分解出因数 $7$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

解题步骤 11.7.4

从 $7 (x^{4}) + 7 (2 x^{2})$ 中分解出因数 $7$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1) = 0$

解题步骤 11.7.5

从 $7 (x^{4} + 2 x^{2}) + 7 (1)$ 中分解出因数 $7$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (x^{4} + 2 x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 11.8

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 ({(x^{2})}^{2} + 2 x^{2} + 1) = 0$

解题步骤 11.9

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

解题步骤 11.10

使用完全平方法则进行因式分解。

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解题步骤 11.10.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

解题步骤 11.10.2

请检查中间项是否为第一项被平方数和第三项被平方数的乘积的两倍。

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

解题步骤 11.10.3

重写多项式。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

解题步骤 11.10.4

使用完全平方三项式法则对 $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ 进行因式分解，其中 $a = u$ 和 $b = 1$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(u + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 11.11

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 11.12

从 $x {(x^{2} + 1)}^{2} + 7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 11.12.1

从 $x {(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

${(x^{2} + 1)}^{2} x + 7 {(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 11.12.2

从 $7 {(x^{2} + 1)}^{2}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7 = 0$

解题步骤 11.12.3

从 ${(x^{2} + 1)}^{2} x + {(x^{2} + 1)}^{2} \cdot 7$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 。

${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$

解题步骤 12

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

$x + 7 = 0$

解题步骤 13

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 13.1

将 ${(x^{2} + 1)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$

解题步骤 13.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} + 1)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 13.2.1

将 $x^{2} + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 1 = 0$

解题步骤 13.2.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 13.2.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} = - 1$

解题步骤 13.2.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

解题步骤 13.2.2.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i$

解题步骤 13.2.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 13.2.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = i$

解题步骤 13.2.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - i$

解题步骤 13.2.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = i, - i$

解题步骤 14

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

将 $x + 7$ 设为等于 $0$ 。

$x + 7 = 0$

解题步骤 14.2

从等式两边同时减去 $7$ 。

$x = - 7$

解题步骤 15

最终解为使 ${(x^{2} + 1)}^{2} (x + 7) = 0$ 成立的所有值。

$x = i, - i, - 7$

解题步骤 16

初级微积分 示例

初级微积分示例