初级微积分示例

$x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

$q = \pm 1$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 9, \pm 12, \pm 18, \pm 36$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

${(3)}^{3} + 4 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 - 36$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$27 + 4 {(3)}^{2} - 9 \cdot 3 - 36$

解题步骤 4.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$27 + 4 \cdot 9 - 9 \cdot 3 - 36$

解题步骤 4.1.3

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$27 + 36 - 9 \cdot 3 - 36$

解题步骤 4.1.4

将 $- 9$ 乘以 $3$ 。

$27 + 36 - 27 - 36$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

将 $27$ 和 $36$ 相加。

$63 - 27 - 36$

解题步骤 4.2.2

从 $63$ 中减去 $27$ 。

$36 - 36$

解题步骤 4.2.3

从 $36$ 中减去 $36$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $3$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 3$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{x^{3} + 4 x^{2} - 9 x - 36}{x - 3}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$

解题步骤 6.2

将被除数 $(1)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$

	$1$

解题步骤 6.3

将结果 $(1)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(3)$ 的结果置于被除数 $(4)$ 的下一项下方。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$
	$1$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$
	$1$	$7$

解题步骤 6.5

将结果 $(7)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(21)$ 的结果置于被除数 $(- 9)$ 的下一项下方。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$
	$1$	$7$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$
	$1$	$7$	$12$

解题步骤 6.7

将结果 $(12)$ 中的最新项乘以除数 $(3)$ 并将 $(36)$ 的结果置于被除数 $(- 36)$ 的下一项下方。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$	$36$
	$1$	$7$	$12$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$3$	$1$	$4$	$- 9$	$- 36$
		$3$	$21$	$36$
	$1$	$7$	$12$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$1 x^{2} + 7 x + 12$

解题步骤 6.10

化简商多项式。

$x^{2} + 7 x + 12$

解题步骤 7

使用 AC 法来对 $x^{2} + 7 x + 12$ 进行因式分解。

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解题步骤 7.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $12$ ，和为 $7$ 。

$3, 4$

解题步骤 7.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) + (x + 3) (x + 4)$

$(x - 3) (x + 3) (x + 4)$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x^{3} + 4 x^{2}) - 9 x - 36 = 0$

解题步骤 8.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} (x + 4) - 9 (x + 4) = 0$

解题步骤 8.2

通过因式分解出最大公因数 $x + 4$ 来因式分解多项式。

$(x + 4) (x^{2} - 9) = 0$

解题步骤 8.3

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$(x + 4) (x^{2} - 3^{2}) = 0$

解题步骤 8.4

因数。

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解题步骤 8.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$(x + 4) ((x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 8.4.2

去掉多余的括号。

$(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 10

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 10.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 11

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 11.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 12

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 13

最终解为使 $(x + 4) (x + 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, - 3, 3$

解题步骤 14

初级微积分 示例

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