初级微积分示例

$3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 2, \pm \frac{2}{3}$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$3 {(- 2)}^{4} + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = - 2$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $- 2$ 进行 $4$ 次方运算。

$3 \cdot 16 + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

解题步骤 4.1.2

将 $3$ 乘以 $16$ 。

$48 + 8 {(- 2)}^{3} + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

解题步骤 4.1.3

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$48 + 8 \cdot - 8 + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

解题步骤 4.1.4

将 $8$ 乘以 $- 8$ 。

$48 - 64 + 6 {(- 2)}^{2} + 3 (- 2) - 2$

解题步骤 4.1.5

对 $- 2$ 进行 $2$ 次方运算。

$48 - 64 + 6 \cdot 4 + 3 (- 2) - 2$

解题步骤 4.1.6

将 $6$ 乘以 $4$ 。

$48 - 64 + 24 + 3 (- 2) - 2$

解题步骤 4.1.7

将 $3$ 乘以 $- 2$ 。

$48 - 64 + 24 - 6 - 2$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $48$ 中减去 $64$ 。

$- 16 + 24 - 6 - 2$

解题步骤 4.2.2

将 $- 16$ 和 $24$ 相加。

$8 - 6 - 2$

解题步骤 4.2.3

从 $8$ 中减去 $6$ 。

$2 - 2$

解题步骤 4.2.4

从 $2$ 中减去 $2$ 。

$0$

解题步骤 5

因为 $- 2$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x + 2$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2}{x + 2}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$

解题步骤 6.2

将被除数 $(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$

	$3$

解题步骤 6.3

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(- 6)$ 的结果置于被除数 $(8)$ 的下一项下方。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$
	$3$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$
	$3$	$2$

解题步骤 6.5

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(- 4)$ 的结果置于被除数 $(6)$ 的下一项下方。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$
	$3$	$2$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$

解题步骤 6.7

将结果 $(2)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(- 4)$ 的结果置于被除数 $(3)$ 的下一项下方。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$

解题步骤 6.9

将结果 $(- 1)$ 中的最新项乘以除数 $(- 2)$ 并将 $(2)$ 的结果置于被除数 $(- 2)$ 的下一项下方。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$	$2$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$

解题步骤 6.10

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$- 2$	$3$	$8$	$6$	$3$	$- 2$
		$- 6$	$- 4$	$- 4$	$2$
	$3$	$2$	$2$	$- 1$	$0$

解题步骤 6.11

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$3 x^{3} + 2 x^{2} + (2) x - 1$

解题步骤 6.12

化简商多项式。

$3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$

解题步骤 7

求解方程以求出所有其余根。

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解题步骤 7.1

使用有理根检验法因式分解 $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ 。

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解题步骤 7.1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 7.1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}$

解题步骤 7.1.3

代入 $0.\overline{3}$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $0.\overline{3}$ 是多项式的根。

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解题步骤 7.1.3.1

将 $0.\overline{3}$ 代入多项式。

$3 \cdot {0.\overline{3}}^{3} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 7.1.3.2

对 $0.\overline{3}$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot 0.\overline{037} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 7.1.3.3

将 $3$ 乘以 $0.\overline{037}$ 。

$0.\overline{1} + 2 \cdot {0.\overline{3}}^{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 7.1.3.4

对 $0.\overline{3}$ 进行 $2$ 次方运算。

$0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{1} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 7.1.3.5

将 $2$ 乘以 $0.\overline{1}$ 。

$0.\overline{1} + 0.\overline{2} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 7.1.3.6

将 $0.\overline{1}$ 和 $0.\overline{2}$ 相加。

$0.\overline{3} + 2 \cdot 0.\overline{3} - 1$

解题步骤 7.1.3.7

将 $2$ 乘以 $0.\overline{3}$ 。

$0.\overline{3} + 0.\overline{6} - 1$

解题步骤 7.1.3.8

将 $0.\overline{3}$ 和 $0.\overline{6}$ 相加。

$1 - 1$

解题步骤 7.1.3.9

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$0$

解题步骤 7.1.4

因为 $0.\overline{3}$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $3 x - 1$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1}{3 x - 1}$

解题步骤 7.1.5

用 $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ 除以 $3 x - 1$ 。

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解题步骤 7.1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$3 x$

$1$

$3 x^{3}$

$2 x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 7.1.5.2

将被除数中的最高阶项 $3 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

					$x^{2}$
	$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$

解题步骤 7.1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			+	$3 x^{3}$	-	$x^{2}$

解题步骤 7.1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{3} - x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$

解题步骤 7.1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$

解题步骤 7.1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 7.1.5.7

将被除数中的最高阶项 $3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$

解题步骤 7.1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					+	$3 x^{2}$	-	$x$

解题步骤 7.1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x^{2} - x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$

解题步骤 7.1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$

解题步骤 7.1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	+	$x$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$

解题步骤 7.1.5.12

将被除数中的最高阶项 $3 x$ 除以除数中的最高阶项 $3 x$ 。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$

解题步骤 7.1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							+	$3 x$	-	$1$

解题步骤 7.1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $3 x - 1$ 中的所有符号

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$

解题步骤 7.1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	+	$x$	+	$1$
$3 x$	-	$1$		$3 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	+	$2 x$	-	$1$
			-	$3 x^{3}$	+	$x^{2}$
					+	$3 x^{2}$	+	$2 x$
					-	$3 x^{2}$	+	$x$
							+	$3 x$	-	$1$
							-	$3 x$	+	$1$
										$0$

解题步骤 7.1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} + x + 1$

解题步骤 7.1.6

将 $3 x^{3} + 2 x^{2} + 2 x - 1$ 书写为因数的集合。

$(3 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

解题步骤 7.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 7.3

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.3.1

将 $3 x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 1 = 0$

解题步骤 7.3.2

求解 $x$ 的 $3 x - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.3.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$3 x = 1$

解题步骤 7.3.2.2

将 $3 x = 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 7.3.2.2.1

将 $3 x = 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 7.3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 7.3.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 7.3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{1}{3}$

解题步骤 7.3.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 7.4

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.4.1

将 $x^{2} + x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + x + 1 = 0$

解题步骤 7.4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.4.2.1

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 7.4.2.2

将 $a = 1$ 、 $b = 1$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3

化简。

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解题步骤 7.4.2.3.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.3.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.4.2.3.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.3.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.4

化简表达式以求 $\pm$ 在 $+$ 部分的解。

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解题步骤 7.4.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.4.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.4.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.4.3

将 $\pm$ 变换为 $+$ 。

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.4.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.4.5

从 $i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 7.4.2.4.6

从 $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 7.4.2.4.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.5

化简表达式以求 $\pm$ 在 $-$ 部分的解。

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解题步骤 7.4.2.5.1

化简分子。

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解题步骤 7.4.2.5.1.1

一的任意次幂都为一。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ 。

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解题步骤 7.4.2.5.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.3

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.4

将 $- 3$ 重写为 $- 1 (3)$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.5

将 $\sqrt{- 1 (3)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 7.4.2.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.3

将 $\pm$ 变换为 $-$ 。

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.4

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.5

从 $- i \sqrt{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.6

从 $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

解题步骤 7.4.2.5.7

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.4.2.6

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 7.5

最终解为使 $(3 x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 8

多项式可写成一组线性因式。

$(x + 2) (x - \frac{1}{3}) (x + \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}) (x + \frac{1 + i \sqrt{3}}{2})$

解题步骤 9

这些是多项式 $3 x^{4} + 8 x^{3} + 6 x^{2} + 3 x - 2$ 的根（零点）。

$x = - 2, \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

解题步骤 10

初级微积分 示例

初级微积分示例