初级微积分示例

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

解题步骤 1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 5, \pm 7, \pm 25, \pm 35, \pm 175$

$q = \pm 1, \pm 3$

解题步骤 2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm \frac{1}{3}, \pm 5, \pm \frac{5}{3}, \pm 7, \pm \frac{7}{3}, \pm 25, \pm \frac{25}{3}, \pm 35, \pm \frac{35}{3}, \pm 175, \pm \frac{175}{3}$

解题步骤 3

将可能的根逐一代入多项式以求实际根。化简以验证其值是否为 $0$ ，如果是则表示这是一个根。

$3 {(5)}^{3} - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

解题步骤 4

化简表达式。在本例中，因为表达式等于 $0$ ，所以 $x = 5$ 是多项式的根。

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解题步骤 4.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.1

对 $5$ 进行 $3$ 次方运算。

$3 \cdot 125 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

解题步骤 4.1.2

将 $3$ 乘以 $125$ 。

$375 - 7 {(5)}^{2} - 75 \cdot 5 + 175$

解题步骤 4.1.3

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$375 - 7 \cdot 25 - 75 \cdot 5 + 175$

解题步骤 4.1.4

将 $- 7$ 乘以 $25$ 。

$375 - 175 - 75 \cdot 5 + 175$

解题步骤 4.1.5

将 $- 75$ 乘以 $5$ 。

$375 - 175 - 375 + 175$

解题步骤 4.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 4.2.1

从 $375$ 中减去 $175$ 。

$200 - 375 + 175$

解题步骤 4.2.2

从 $200$ 中减去 $375$ 。

$- 175 + 175$

解题步骤 4.2.3

将 $- 175$ 和 $175$ 相加。

$0$

解题步骤 5

因为 $5$ 是一个已知根，所以将多项式除以 $x - 5$ 求商多项式。然后可以用该多项式来求余下根。

$\frac{3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175}{x - 5}$

解题步骤 6

下一步，求余下多项式的根。多项式的次数将减少 $1$ 。

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解题步骤 6.1

将表示除数和被除数的数置于与除法相似的构形中。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

解题步骤 6.2

将被除数 $(3)$ 中的第一个数放在结果区域（在水平线下）的第一个位置。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$

	$3$

解题步骤 6.3

将结果 $(3)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(15)$ 的结果置于被除数 $(- 7)$ 的下一项下方。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$

解题步骤 6.4

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$
	$3$	$8$

解题步骤 6.5

将结果 $(8)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(40)$ 的结果置于被除数 $(- 75)$ 的下一项下方。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$

解题步骤 6.6

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$
	$3$	$8$	$- 35$

解题步骤 6.7

将结果 $(- 35)$ 中的最新项乘以除数 $(5)$ 并将 $(- 175)$ 的结果置于被除数 $(175)$ 的下一项下方。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$

解题步骤 6.8

把乘积和被除数相加，将结果写在结果行的下一位上。

$5$	$3$	$- 7$	$- 75$	$175$
		$15$	$40$	$- 175$
	$3$	$8$	$- 35$	$0$

解题步骤 6.9

除了最后一个数，其他所有数值都为商多项式的系数。结果行中的最后一个数值为余数。

$3 x^{2} + 8 x - 35$

解题步骤 7

分组因式分解。

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解题步骤 7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 35 = - 105$ 并且它们的和为 $b = 8$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $8 x$ 中分解出因数 $8$ 。

$(x - 5) + 3 x^{2} + 8 (x) - 35$

解题步骤 7.1.2

把 $8$ 重写为 $- 7$ 加 $15$

$(x - 5) + 3 x^{2} + (- 7 + 15) x - 35$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$(x - 5) + 3 x^{2} - 7 x + 15 x - 35$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x - 5) (3 x^{2} - 7 x) + 15 x - 35$

解题步骤 7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x - 5) + x (3 x - 7) + 5 (3 x - 7)$

解题步骤 7.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 7$ 来因式分解多项式。

$(x - 5) + (3 x - 7) (x + 5)$

$(x - 5) (3 x - 7) (x + 5)$

解题步骤 8

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 8.1

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 8.1.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{3} - 7 x^{2}) - 75 x + 175 = 0$

解题步骤 8.1.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x^{2} (3 x - 7) - 25 (3 x - 7) = 0$

解题步骤 8.2

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 7$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 7) (x^{2} - 25) = 0$

解题步骤 8.3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$(3 x - 7) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

解题步骤 8.4

因数。

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解题步骤 8.4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$(3 x - 7) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

解题步骤 8.4.2

去掉多余的括号。

$(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$

解题步骤 9

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

解题步骤 10

将 $3 x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 10.1

将 $3 x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 7 = 0$

解题步骤 10.2

求解 $x$ 的 $3 x - 7 = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$3 x = 7$

解题步骤 10.2.2

将 $3 x = 7$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $3 x = 7$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 10.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{7}{3}$

解题步骤 11

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x + 5$ 设为等于 $0$ 。

$x + 5 = 0$

解题步骤 11.2

从等式两边同时减去 $5$ 。

$x = - 5$

解题步骤 12

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 12.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 13

最终解为使 $(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{7}{3}, - 5, 5$

解题步骤 14

初级微积分 示例

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