初级微积分示例

$2^{7 - 3 x} = \frac{1}{4}$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{4}$ 。

$2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 2

化简 $2^{7 - 3 x} - \frac{1}{4}$ 。

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解题步骤 2.1

要将 $2^{7 - 3 x}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2^{7 - 3 x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 2.2

组合 $2^{7 - 3 x}$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4}{4} - \frac{1}{4} = 0$

解题步骤 2.3

在公分母上合并分子。

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 4 - 1}{4} = 0$

解题步骤 2.4

化简分子。

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解题步骤 2.4.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$\frac{2^{7 - 3 x} \cdot 2^{2} - 1}{4} = 0$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2^{7 - 3 x + 2} - 1}{4} = 0$

解题步骤 2.4.3

将 $7$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2^{- 3 x + 9} - 1}{4} = 0$

解题步骤 2.4.4

将 $2^{- 3 x + 9}$ 重写为 ${(2^{- x + 3})}^{3}$ 。

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1}{4} = 0$

解题步骤 2.4.5

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{{(2^{- x + 3})}^{3} - 1^{3}}{4} = 0$

解题步骤 2.4.6

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = 2^{- x + 3}$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) ({(2^{- x + 3})}^{2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

解题步骤 2.4.7

化简。

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解题步骤 2.4.7.1

将 ${(2^{- x + 3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.4.7.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{(- x + 3) \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

解题步骤 2.4.7.1.2

运用分配律。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- x \cdot 2 + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

解题步骤 2.4.7.1.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 3 \cdot 2} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

解题步骤 2.4.7.1.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 1 + 1^{2})}{4} = 0$

解题步骤 2.4.7.2

将 $2^{- x + 3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1^{2})}{4} = 0$

解题步骤 2.4.7.3

一的任意次幂都为一。

$\frac{(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)}{4} = 0$

解题步骤 3

将分子设为等于零。

$(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1) = 0$

解题步骤 4

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 4.1

化简 $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ 。

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解题步骤 4.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(2^{- x + 3} - 1) (2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} + 1)$ 。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2

化简项。

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解题步骤 4.1.2.1

合并 $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 2^{- x + 3} \cdot 1 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.2.1.1

按照 $2^{- x + 3} \cdot 1$ 和 $- 1 \cdot 2^{- x + 3}$ 重新排列因数。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.1.2

从 $1 \cdot 2^{- x + 3}$ 中减去 $1 \cdot 2^{- x + 3}$ 。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} + 0 - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.1.3

将 $2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3}$ 和 $0$ 相加。

$2^{- x + 3} \cdot 2^{- 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.2.2.1

通过指数相加将 $2^{- x + 3}$ 乘以 $2^{- 2 x + 6}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{- x + 3 - 2 x + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2.1.2

从 $- x$ 中减去 $2 x$ 。

$2^{- 3 x + 3 + 6} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2.1.3

将 $3$ 和 $6$ 相加。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3} \cdot 2^{- x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2.2

通过指数相加将 $2^{- x + 3}$ 乘以 $2^{- x + 3}$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- x + 3 - x + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 3 + 3} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2.2.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2.3

将 $- 1 \cdot 2^{- 2 x + 6}$ 重写为 $- 2^{- 2 x + 6}$ 。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 \cdot 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.2.4

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.3

合并 $2^{- 3 x + 9} + 2^{- 2 x + 6} - 2^{- 2 x + 6} - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.2.3.1

从 $2^{- 2 x + 6}$ 中减去 $2^{- 2 x + 6}$ 。

$2^{- 3 x + 9} + 0 - 1 = 0$

解题步骤 4.1.2.3.2

将 $2^{- 3 x + 9}$ 和 $0$ 相加。

$2^{- 3 x + 9} - 1 = 0$

解题步骤 4.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$2^{- 3 x + 9} = 1$

解题步骤 4.3

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (2^{- 3 x + 9}) = \ln (1)$

解题步骤 4.4

通过将 $- 3 x + 9$ 移到对数外来展开 $\ln (2^{- 3 x + 9})$ 。

$(- 3 x + 9) \ln (2) = \ln (1)$

解题步骤 4.5

化简左边。

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解题步骤 4.5.1

运用分配律。

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = \ln (1)$

解题步骤 4.6

化简右边。

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解题步骤 4.6.1

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$- 3 x \ln (2) + 9 \ln (2) = 0$

解题步骤 4.7

从等式两边同时减去 $9 \ln (2)$ 。

$- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$

解题步骤 4.8

将 $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ 中的每一项除以 $- 3 \ln (2)$ 并化简。

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解题步骤 4.8.1

将 $- 3 x \ln (2) = - 9 \ln (2)$ 中的每一项都除以 $- 3 \ln (2)$ 。

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.2

化简左边。

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解题步骤 4.8.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x \ln (2)}{- 3 \ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.2.1.2

重写表达式。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.2.2

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.2.2.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (2)}{\ln (2)} = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 9 \ln (2)}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.3

化简右边。

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解题步骤 4.8.3.1

约去 $- 9$ 和 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.3.1.1

从 $- 9 \ln (2)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.3.1.2

约去公因数。

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解题步骤 4.8.3.1.2.1

从 $- 3 \ln (2)$ 中分解出因数 $- 3$ 。

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.3.1.2.2

约去公因数。

$x = \frac{- 3 (3 \ln (2))}{- 3 \ln (2)}$

解题步骤 4.8.3.1.2.3

重写表达式。

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.8.3.2

约去 $\ln (2)$ 的公因数。

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解题步骤 4.8.3.2.1

约去公因数。

$x = \frac{3 \ln (2)}{\ln (2)}$

解题步骤 4.8.3.2.2

用 $3$ 除以 $1$ 。

$x = 3$

初级微积分 示例

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