初级微积分示例

$\cos (4 x) - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1

化简等式左边。

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解题步骤 1.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.1

从 $4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\cos (2 (2 x)) - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.1

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$2 {(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2} - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.2

将 ${(2 \cos^{2} (x) - 1)}^{2}$ 重写为 $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ 。

$2 ((2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3

使用 FOIL 方法展开 $(2 \cos^{2} (x) - 1) (2 \cos^{2} (x) - 1)$ 。

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解题步骤 1.1.2.3.1

运用分配律。

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x) - 1) - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3.2

运用分配律。

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x) - 1)) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.3.3

运用分配律。

$2 (2 \cos^{2} (x) (2 \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.1.2.4.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.4.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$2 (2 \cdot (2 \cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.1.2

通过指数相加将 $\cos^{2} (x)$ 乘以 $\cos^{2} (x)$ 。

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解题步骤 1.1.2.4.1.2.1

移动 $\cos^{2} (x)$ 。

$2 (2 \cdot (2 (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x))) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 (2 \cdot (2 {\cos (x)}^{2 + 2}) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$2 (2 \cdot (2 \cos^{4} (x)) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) + 2 \cos^{2} (x) \cdot - 1 - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 (2 \cos^{2} (x)) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.1.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 1 \cdot - 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 2 \cos^{2} (x) - 2 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.4.2

从 $- 2 \cos^{2} (x)$ 中减去 $2 \cos^{2} (x)$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.5

运用分配律。

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.6

化简。

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解题步骤 1.1.2.6.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$8 \cos^{4} (x) + 2 (- 4 \cos^{2} (x)) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.6.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 \cdot 1 - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.2.6.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 2 - 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.3

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - \cos (2 x) = 0$

解题步骤 1.1.4

使用倍角公式把 $\cos (2 x)$ 转换为 $2 \cos^{2} (x) - 1$ 。

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 1.1.5

运用分配律。

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - (2 \cos^{2} (x)) + 1 = 0$

解题步骤 1.1.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.1.7

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$8 \cos^{4} (x) - 8 \cos^{2} (x) + 1 - 2 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 1.2.1

从 $- 8 \cos^{2} (x)$ 中减去 $2 \cos^{2} (x)$ 。

$8 \cos^{4} (x) + 1 - 10 \cos^{2} (x) + 1 = 0$

解题步骤 1.2.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

对 $8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

从 $8 \cos^{4} (x) + 2 - 10 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $8 \cos^{4} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 - 10 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1) - 10 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $- 10 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.4

从 $2 (4 \cos^{4} (x)) + 2 (1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) + 1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.1.5

从 $2 (4 \cos^{4} (x) + 1) + 2 (- 5 \cos^{2} (x))$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) + 1 - 5 \cos^{2} (x)) = 0$

解题步骤 2.2

分组因式分解。

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解题步骤 2.2.1

重新排序项。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 5 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 4 \cdot 1 = 4$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 2.2.2.1

从 $- 5 \cos^{2} (x)$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 5 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.2

把 $- 5$ 重写为 $- 1$ 加 $- 4$

$2 (4 \cos^{4} (x) + (- 1 - 4) \cos^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.2.3

运用分配律。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 1 \cos^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.2.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$2 (4 \cos^{4} (x) - 1 \cos^{2} (x) - 4 \cos^{2} (x) + 1) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 (\cos^{2} (x) (4 \cos^{2} (x) - 1) - (4 \cos^{2} (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.2.4

通过因式分解出最大公因数 $4 \cos^{2} (x) - 1$ 来因式分解多项式。

$2 ((4 \cos^{2} (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.3

将 $4 \cos^{2} (x)$ 重写为 ${(2 \cos (x))}^{2}$ 。

$2 (({(2 \cos (x))}^{2} - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.4

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 (({(2 \cos (x))}^{2} - 1^{2}) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.5

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = 2 \cos (x)$ 和 $b = 1$ 。

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.6

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos^{2} (x) - 1^{2})) = 0$

解题步骤 2.7

因数。

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解题步骤 2.7.1

因数。

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解题步骤 2.7.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \cos (x)$ 和 $b = 1$ 。

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1))) = 0$

解题步骤 2.7.1.2

去掉多余的括号。

$2 ((2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.7.2

去掉多余的括号。

$2 (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$2 \cos (x) - 1 = 0$

$\cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $2 \cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \cos (x) = - 1$

解题步骤 4.2.2

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 4.2.2.1

将 $2 \cos (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 4.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 4.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

解题步骤 4.2.4

化简右边。

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解题步骤 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{2 π}{3}$ 。

$x = \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6

化简 $2 π - \frac{2 π}{3}$ 。

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解题步骤 4.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 4.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

解题步骤 4.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = \frac{4 π}{3}$

解题步骤 4.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 4.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 4.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 4.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $2 \cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $2 \cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$2 \cos (x) = 1$

解题步骤 5.2.2

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.2.1

将 $2 \cos (x) = 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.2.2.1.2

用 $\cos (x)$ 除以 $1$ 。

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

解题步骤 5.2.4

化简右边。

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解题步骤 5.2.4.1

$\arccos (\frac{1}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{3}$ 。

$x = \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.5

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6

化简 $2 π - \frac{π}{3}$ 。

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解题步骤 5.2.6.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2

合并分数。

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解题步骤 5.2.6.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

解题步骤 5.2.6.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3

化简分子。

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解题步骤 5.2.6.3.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{6 π - π}{3}$

解题步骤 5.2.6.3.2

从 $6 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{5 π}{3}$

解题步骤 5.2.7

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 5.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 5.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 5.2.8

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\cos (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) + 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\cos (x) = - 1$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (- 1)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

$\arccos (- 1)$ 的准确值为 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 6.2.4

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$x = 2 π - π$

解题步骤 6.2.5

从 $2 π$ 中减去 $π$ 。

$x = π$

解题步骤 6.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 6.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 6.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $\cos (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) - 1 = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\cos (x) = 1$

解题步骤 7.2.2

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (1)$

解题步骤 7.2.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.3.1

$\arccos (1)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7.2.4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - 0$

解题步骤 7.2.5

从 $2 π$ 中减去 $0$ 。

$x = 2 π$

解题步骤 7.2.6

求 $\cos (x)$ 的周期。

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解题步骤 7.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 7.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 7.2.6.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 7.2.7

$\cos (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

最终解为使 $2 (2 \cos (x) + 1) (2 \cos (x) - 1) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 9

合并答案。

$x = \frac{π n}{3}$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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