初级微积分示例

$f (x) = x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$

解题步骤 1

将 $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ 设为等于 $0$ 。

$x^{5} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

从 $x^{5} - 5 x^{3} + 4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 2.1.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} - 5 x^{3} + 4 x = 0$

解题步骤 2.1.1.2

从 $- 5 x^{3}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + 4 x = 0$

解题步骤 2.1.1.3

从 $4 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

解题步骤 2.1.1.4

从 $x \cdot x^{4} + x (- 5 x^{2})$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4 = 0$

解题步骤 2.1.1.5

从 $x (x^{4} - 5 x^{2}) + x \cdot 4$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 5 x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 2.1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} - 5 x^{2} + 4) = 0$

解题步骤 2.1.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$x (u^{2} - 5 u + 4) = 0$

解题步骤 2.1.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 5 u + 4$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $4$ ，和为 $- 5$ 。

$- 4, - 1$

解题步骤 2.1.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$x ((u - 4) (u - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.6

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.7

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 2$ 。

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.8

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} - 1^{2})) = 0$

解题步骤 2.1.9

因数。

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解题步骤 2.1.9.1

因数。

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解题步骤 2.1.9.1.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$x ((x + 2) (x - 2) ((x + 1) (x - 1))) = 0$

解题步骤 2.1.9.1.2

去掉多余的括号。

$x ((x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1)) = 0$

解题步骤 2.1.9.2

去掉多余的括号。

$x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$

解题步骤 2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 2.4

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x + 2$ 设为等于 $0$ 。

$x + 2 = 0$

解题步骤 2.4.2

从等式两边同时减去 $2$ 。

$x = - 2$

解题步骤 2.5

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 2.5.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 2.6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.6.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 2.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 2.7

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.7.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 2.7.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 2.8

最终解为使 $x (x + 2) (x - 2) (x + 1) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 2, 2, - 1, 1$

解题步骤 3

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