初级微积分示例

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 x - 3}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

分组因式分解。

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解题步骤 1.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ 并且它们的和为 $b = - 5$ 。

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解题步骤 1.1.1.1

从 $- 5 x$ 中分解出因数 $- 5$ 。

$\frac{4}{2 x^{2} - 5 (x) - 3}$

解题步骤 1.1.1.2

把 $- 5$ 重写为 $1$ 加 $- 6$

$\frac{4}{2 x^{2} + (1 - 6) x - 3}$

解题步骤 1.1.1.3

运用分配律。

$\frac{4}{2 x^{2} + 1 x - 6 x - 3}$

解题步骤 1.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4}{2 x^{2} + x - 6 x - 3}$

解题步骤 1.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$\frac{4}{(2 x^{2} + x) - 6 x - 3}$

解题步骤 1.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$\frac{4}{x (2 x + 1) - 3 (2 x + 1)}$

解题步骤 1.1.3

通过因式分解出最大公因数 $2 x + 1$ 来因式分解多项式。

$\frac{4}{(2 x + 1) (x - 3)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{2 x + 1}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(2 x + 1) (x - 3)$ 。

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.5

约去 $2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{4 (2 x + 1) (x - 3)}{(2 x + 1) (x - 3)} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.6

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{4 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.6.2

用 $4$ 除以 $1$ 。

$4 = \frac{(A) (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 $2 x + 1$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$4 = \frac{A (2 x + 1) (x - 3)}{2 x + 1} + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$4 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$4 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$4 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.4

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

约去公因数。

$4 = A x - 3 A + \frac{(B) (2 x + 1) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.4.2

用 $(B) (2 x + 1)$ 除以 $1$ 。

$4 = A x - 3 A + (B) (2 x + 1)$

解题步骤 1.7.5

运用分配律。

$4 = A x - 3 A + B (2 x) + B \cdot 1$

解题步骤 1.7.6

使用乘法的交换性质重写。

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B \cdot 1$

解题步骤 1.7.7

将 $B$ 乘以 $1$ 。

$4 = A x - 3 A + 2 B x + B$

解题步骤 1.8

化简表达式。

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解题步骤 1.8.1

移动 $B$ 。

$4 = A x - 3 A + 2 x B + B$

解题步骤 1.8.2

移动 $- 3 A$ 。

$4 = A x + 2 x B - 3 A + B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + 2 B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$4 = - 3 A + B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$0 = A + 2 B$

$4 = - 3 A + B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = A + 2 B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + 2 B = 0$ 。

$A + 2 B = 0$

$4 = - 3 A + B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $2 B$ 。

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

$A = - 2 B$

$4 = - 3 A + B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- 2 B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- 2 B$ 替换 $4 = - 3 A + B$ 中所有出现的 $A$ .

$4 = - 3 (- 2 B) + B$

$A = - 2 B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $- 3 (- 2 B) + B$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 2$ 乘以 $- 3$ 。

$4 = 6 B + B$

$A = - 2 B$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $6 B$ 和 $B$ 相加。

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

$4 = 7 B$

$A = - 2 B$

解题步骤 3.3

在 $4 = 7 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $7 B = 4$ 。

$7 B = 4$

$A = - 2 B$

解题步骤 3.3.2

将 $7 B = 4$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $7 B = 4$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 B}{7} = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - 2 B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $\frac{4}{7}$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $\frac{4}{7}$ 替换 $A = - 2 B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - 2 (\frac{4}{7})$

$B = \frac{4}{7}$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

化简 $- 2 (\frac{4}{7})$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1

乘以 $- 2 (\frac{4}{7})$ 。

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解题步骤 3.4.2.1.1.1

组合 $- 2$ 和 $\frac{4}{7}$ 。

$A = \frac{- 2 \cdot 4}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

解题步骤 3.4.2.1.1.2

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = \frac{- 8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

解题步骤 3.4.2.1.2

将负号移到分数的前面。

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

$A = - \frac{8}{7}$

$B = \frac{4}{7}$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = - \frac{8}{7}, B = \frac{4}{7}$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{2 x + 1} + \frac{B}{x - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- \frac{8}{7}}{2 x + 1} + \frac{\frac{4}{7}}{x - 3}$

初级微积分 示例

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