初级微积分示例

$\frac{6}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

分解分数并乘以公分母。

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解题步骤 1.1

对分数进行因式分解。

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解题步骤 1.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{6}{x^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 1.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{6}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 1.2

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $A$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 3}$

解题步骤 1.3

对于分母中的每一个因式，使用该因式为分母、未知值为分子来创建一个新的分数。由于分母中的因式是线性的，在它的位置 $B$ 上放置单个变量。

$\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$

解题步骤 1.4

将方程中的每个分数乘以原表达式中的分母。在本例中，分母为 $(x + 3) (x - 3)$ 。

$\frac{6 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.5

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.5.1

约去公因数。

$\frac{6 (x + 3) (x - 3)}{(x + 3) (x - 3)} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.5.2

重写表达式。

$\frac{6 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.6

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.6.1

约去公因数。

$\frac{6 (x - 3)}{x - 3} = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.6.2

用 $6$ 除以 $1$ 。

$6 = \frac{(A) (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7

化简每一项。

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解题步骤 1.7.1

约去 $x + 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.1.1

约去公因数。

$6 = \frac{A (x + 3) (x - 3)}{x + 3} + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.1.2

用 $(A) (x - 3)$ 除以 $1$ 。

$6 = (A) (x - 3) + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.2

运用分配律。

$6 = A x + A \cdot - 3 + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.3

将 $- 3$ 移到 $A$ 的左侧。

$6 = A x - 3 \cdot A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.4

约去 $x - 3$ 的公因数。

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解题步骤 1.7.4.1

约去公因数。

$6 = A x - 3 A + \frac{(B) (x + 3) (x - 3)}{x - 3}$

解题步骤 1.7.4.2

用 $(B) (x + 3)$ 除以 $1$ 。

$6 = A x - 3 A + (B) (x + 3)$

解题步骤 1.7.5

运用分配律。

$6 = A x - 3 A + B x + B \cdot 3$

解题步骤 1.7.6

将 $3$ 移到 $B$ 的左侧。

$6 = A x - 3 A + B x + 3 B$

解题步骤 1.8

移动 $- 3 A$ 。

$6 = A x + B x - 3 A + 3 B$

解题步骤 2

为部分分式变量创建方程, 并使用它们建立方程组。

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解题步骤 2.1

使方程两边 $x$ 的系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$0 = A + B$

解题步骤 2.2

使方程两边不含 $x$ 的各项系数相等，从而为部分分式变量创建一个等式。要使等式成立，等式两边的相应系数必须相等。

$6 = - 3 A + 3 B$

解题步骤 2.3

建立方程组以求部分分式的系数。

$0 = A + B$

$6 = - 3 A + 3 B$

$0 = A + B$

$6 = - 3 A + 3 B$

解题步骤 3

求解方程组。

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解题步骤 3.1

在 $0 = A + B$ 中求解 $A$ 。

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解题步骤 3.1.1

将方程重写为 $A + B = 0$ 。

$A + B = 0$

$6 = - 3 A + 3 B$

解题步骤 3.1.2

从等式两边同时减去 $B$ 。

$A = - B$

$6 = - 3 A + 3 B$

$A = - B$

$6 = - 3 A + 3 B$

解题步骤 3.2

将每个方程中所有出现的 $A$ 替换成 $- B$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用 $- B$ 替换 $6 = - 3 A + 3 B$ 中所有出现的 $A$ .

$6 = - 3 (- B) + 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.2.2

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.1

化简 $- 3 (- B) + 3 B$ 。

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解题步骤 3.2.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$6 = 3 B + 3 B$

$A = - B$

解题步骤 3.2.2.1.2

将 $3 B$ 和 $3 B$ 相加。

$6 = 6 B$

$A = - B$

$6 = 6 B$

$A = - B$

$6 = 6 B$

$A = - B$

$6 = 6 B$

$A = - B$

解题步骤 3.3

在 $6 = 6 B$ 中求解 $B$ 。

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解题步骤 3.3.1

将方程重写为 $6 B = 6$ 。

$6 B = 6$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2

将 $6 B = 6$ 中的每一项除以 $6$ 并化简。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $6 B = 6$ 中的每一项都除以 $6$ 。

$\frac{6 B}{6} = \frac{6}{6}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.2.2.1

约去 $6$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{6 B}{6} = \frac{6}{6}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.2.1.2

用 $B$ 除以 $1$ 。

$B = \frac{6}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{6}{6}$

$A = - B$

$B = \frac{6}{6}$

$A = - B$

解题步骤 3.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.2.3.1

用 $6$ 除以 $6$ 。

$B = 1$

$A = - B$

$B = 1$

$A = - B$

$B = 1$

$A = - B$

$B = 1$

$A = - B$

解题步骤 3.4

将每个方程中所有出现的 $B$ 替换成 $1$ 。

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解题步骤 3.4.1

使用 $1$ 替换 $A = - B$ 中所有出现的 $B$ .

$A = - (1)$

$B = 1$

解题步骤 3.4.2

化简右边。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

$A = - 1$

$B = 1$

解题步骤 3.5

列出所有解。

$A = - 1, B = 1$

解题步骤 4

将 $\frac{A}{x + 3} + \frac{B}{x - 3}$ 中的每个部分分式的系数替换为求得的 $A$ 和 $B$ 的值。

$\frac{- 1}{x + 3} + \frac{1}{x - 3}$

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