初级微积分示例

$\frac{4 x^{3} + 2 x^{2} - 2 x - 3}{2 x + 1}$

解题步骤 1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$2 x$

+

$1$

$4 x^{3}$

+

$2 x^{2}$

-

$2 x$

-

$3$

解题步骤 2

将被除数中的最高阶项 $4 x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$

解题步骤 3

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				+	$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$

解题步骤 4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $4 x^{3} + 2 x^{2}$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$

解题步骤 5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							$0$

解题步骤 6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

					$2 x^{2}$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							$0$	-	$2 x$	-	$3$

解题步骤 7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $2 x$ 。

					$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							$0$	-	$2 x$	-	$3$

解题步骤 8

将新的商式项乘以除数。

					$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							$0$	-	$2 x$	-	$3$
								-	$2 x$	-	$1$

解题步骤 9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x - 1$ 中的所有符号

					$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							$0$	-	$2 x$	-	$3$
								+	$2 x$	+	$1$

解题步骤 10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

					$2 x^{2}$	+	$0 x$	-	$1$
	$2 x$	+	$1$		$4 x^{3}$	+	$2 x^{2}$	-	$2 x$	-	$3$
				-	$4 x^{3}$	-	$2 x^{2}$
							$0$	-	$2 x$	-	$3$
								+	$2 x$	+	$1$
										-	$2$

解题步骤 11

最终答案为商加上余数除以除数。

$2 x^{2} - 1 - \frac{2}{2 x + 1}$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$