初级微积分示例

$- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$

解题步骤 1

求双曲线的标准形式。

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解题步骤 1.1

对 $- 54 x + 9 x^{2}$ 进行配方。

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解题步骤 1.1.1

将 $- 54 x$ 和 $9 x^{2}$ 重新排序。

$9 x^{2} - 54 x$

解题步骤 1.1.2

使用 $a x^{2} + b x + c$ 的形式求 $a$ 、 $b$ 和 $c$ 的值。

$a = 9$

$b = - 54$

$c = 0$

解题步骤 1.1.3

思考一下抛物线的顶点形式。

$a {(x + d)}^{2} + e$

解题步骤 1.1.4

使用公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 求 $d$ 的值。

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解题步骤 1.1.4.1

将 $a$ 和 $b$ 的值代入公式 $d = \frac{b}{2 a}$ 。

$d = \frac{- 54}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.4.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.4.2.1

约去 $- 54$ 和 $2$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.1

从 $- 54$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.1.2.1

从 $2 \cdot 9$ 中分解出因数 $2$ 。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 (9)}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2.2

约去公因数。

$d = \frac{2 \cdot - 27}{2 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.4.2.1.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 27}{9}$

解题步骤 1.1.4.2.2

约去 $- 27$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.2.1

从 $- 27$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2

约去公因数。

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解题步骤 1.1.4.2.2.2.1

从 $9$ 中分解出因数 $9$ 。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 (1)}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2.2

约去公因数。

$d = \frac{9 \cdot - 3}{9 \cdot 1}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2.3

重写表达式。

$d = \frac{- 3}{1}$

解题步骤 1.1.4.2.2.2.4

用 $- 3$ 除以 $1$ 。

$d = - 3$

解题步骤 1.1.5

使用公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 求 $e$ 的值。

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解题步骤 1.1.5.1

将 $c$ 、 $b$ 和 $a$ 的值代入公式 $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ 。

$e = 0 - \frac{{(- 54)}^{2}}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.5.2

化简右边。

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解题步骤 1.1.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.5.2.1.1

对 $- 54$ 进行 $2$ 次方运算。

$e = 0 - \frac{2916}{4 \cdot 9}$

解题步骤 1.1.5.2.1.2

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$e = 0 - \frac{2916}{36}$

解题步骤 1.1.5.2.1.3

用 $2916$ 除以 $36$ 。

$e = 0 - 1 \cdot 81$

解题步骤 1.1.5.2.1.4

将 $- 1$ 乘以 $81$ 。

$e = 0 - 81$

解题步骤 1.1.5.2.2

从 $0$ 中减去 $81$ 。

$e = - 81$

解题步骤 1.1.6

将 $a$ 、 $d$ 和 $e$ 的值代入顶点式 $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ 。

$9 {(x - 3)}^{2} - 81$

解题步骤 1.2

在方程 $- 16 y^{2} - 54 x + 9 x^{2} = 63$ 中，用 $9 {(x - 3)}^{2} - 81$ 代替 $- 54 x + 9 x^{2}$ 。

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} - 81 = 63$

解题步骤 1.3

通过在等式两边同时加上 $81$ 的方法来将 $- 81$ 移到等式右边。

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 63 + 81$

解题步骤 1.4

将 $63$ 和 $81$ 相加。

$- 16 y^{2} + 9 {(x - 3)}^{2} = 144$

解题步骤 1.5

将每一项除以 $144$ 以使方程右边等于一。

$- \frac{16 y^{2}}{144} + \frac{9 {(x - 3)}^{2}}{144} = \frac{144}{144}$

解题步骤 1.6

化简方程中的每一项，使右边等于 $1$ 。椭圆或双曲线的标准形式要求方程的右边为 $1$ 。

$\frac{{(x - 3)}^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$

解题步骤 2

这是双曲线的形式。使用此形式可确定用于求双曲线渐近线的值。

$\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1$

解题步骤 3

将该双曲线中的值匹配至标准形式的值。变量 $h$ 表示从原点起的 x 轴偏移量， $k$ 表示从原点起的 y 轴偏移量， $a$ 。

$a = 4$

$b = 3$

$k = 0$

$h = 3$

解题步骤 4

因为双曲线开口向左和向右，所以渐近线满足 $y = \pm \frac{b (x - h)}{a} + k$ 的形式。

$y = \pm \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

解题步骤 5

化简求第一条渐近线。

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解题步骤 5.1

去掉圆括号。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

解题步骤 5.2

化简 $\frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

化简表达式。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $\frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ 和 $0$ 相加。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

解题步骤 5.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

解题步骤 5.2.2

运用分配律。

$y = \frac{3}{4} x + \frac{3}{4} \cdot - 3$

解题步骤 5.2.3

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $x$ 。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3}{4} \cdot - 3$

解题步骤 5.2.4

乘以 $\frac{3}{4} \cdot - 3$ 。

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解题步骤 5.2.4.1

组合 $\frac{3}{4}$ 和 $- 3$ 。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{3 \cdot - 3}{4}$

解题步骤 5.2.4.2

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$y = \frac{3 x}{4} + \frac{- 9}{4}$

解题步骤 5.2.5

将负号移到分数的前面。

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$

解题步骤 6

化简求第二条渐近线。

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解题步骤 6.1

去掉圆括号。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$

解题步骤 6.2

化简 $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3)) + 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

化简表达式。

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解题步骤 6.2.1.1

将 $- \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$ 和 $0$ 相加。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - (3))$

解题步骤 6.2.1.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$y = - \frac{3}{4} \cdot (x - 3)$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$y = - \frac{3}{4} x - \frac{3}{4} \cdot - 3$

解题步骤 6.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} - \frac{3}{4} \cdot - 3$

解题步骤 6.2.4

乘以 $- \frac{3}{4} \cdot - 3$ 。

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解题步骤 6.2.4.1

将 $- 3$ 乘以 $- 1$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + 3 (\frac{3}{4})$

解题步骤 6.2.4.2

组合 $3$ 和 $\frac{3}{4}$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{3 \cdot 3}{4}$

解题步骤 6.2.4.3

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$y = - \frac{x \cdot 3}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 6.2.5

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 7

该双曲线有两条渐近线。

$y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 8

渐近线是 $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}$ 和 $y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$ 。

渐近线： $y = \frac{3 x}{4} - \frac{9}{4}, y = - \frac{3 x}{4} + \frac{9}{4}$

解题步骤 9

初级微积分 示例

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