初级微积分示例

$f (x) = \frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ 无定义。

$x = - 3, x = 3$

解题步骤 2

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $- 3$ 时， $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = - 3$ 是一条垂直渐近线。

$x = - 3$

解题步骤 3

由于从左侧，当 $x$ $\to$ $3$ 时， $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $- \infty$ ，且从右侧，当 $x$ $\to$ $3$ 时， $\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$ $\to$ $\infty$ ，因此 $x = 3$ 是一条垂直渐近线。

$x = 3$

解题步骤 4

列出所有垂直渐近线：

$x = - 3, 3$

解题步骤 5

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 6

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 3$

$m = 2$

解题步骤 7

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 8

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 8.1

化简表达式。

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解题步骤 8.1.1

化简分子。

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解题步骤 8.1.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{3}$ 。

$\frac{x^{3} - 1^{3}}{x^{2} - 9}$

解题步骤 8.1.1.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

解题步骤 8.1.1.3

化简。

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解题步骤 8.1.1.3.1

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})}{x^{2} - 9}$

解题步骤 8.1.1.3.2

一的任意次幂都为一。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 9}$

解题步骤 8.1.2

化简分母。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{x^{2} - 3^{2}}$

解题步骤 8.1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$\frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2

展开 $(x - 1) (x^{2} + x + 1)$ 。

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解题步骤 8.2.1

运用分配律。

$\frac{x (x^{2} + x + 1) - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.2

运用分配律。

$\frac{x (x^{2} + x) + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.3

运用分配律。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x + 1)}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.4

运用分配律。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 (x^{2} + x) - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.5

运用分配律。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + x \cdot 1 - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.6

将 $x$ 和 $1$ 重新排序。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x \cdot x^{2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{1 + 2} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.9

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.10

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} + x \cdot x + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} + x^{1 + 1} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.13

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} + x^{2} + 1 x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.14

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1 \cdot 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.15

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{x^{3} + x^{2} + x - 1 x^{2} - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.16

移动 $x$ 。

$\frac{x^{3} + x^{2} - 1 x^{2} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.17

从 $x^{2}$ 中减去 $1 x^{2}$ 。

$\frac{x^{3} + 0 + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.18

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} + x - 1 x - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.19

从 $x$ 中减去 $1 x$ 。

$\frac{x^{3} + 0 - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.2.20

将 $x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{x^{3} - 1}{(x + 3) (x - 3)}$

解题步骤 8.3

展开 $(x + 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 8.3.1

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 1}{x (x - 3) + 3 (x - 3)}$

解题步骤 8.3.2

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3)}$

解题步骤 8.3.3

运用分配律。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.4

将 $x$ 和 $- 3$ 重新排序。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x^{3} - 1}{x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{1 + 1} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3}$

解题步骤 8.3.9

将 $3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 3 x + 3 x - 9}$

解题步骤 8.3.10

将 $- 3 x$ 和 $3 x$ 相加。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} + 0 - 9}$

解题步骤 8.3.11

从 $0$ 中减去 $9$ 。

$\frac{x^{3} - 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 8.4

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 8.5

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x^{2}$ 。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

解题步骤 8.6

将新的商式项乘以除数。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

解题步骤 8.7

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 0 - 9 x$ 中的所有符号

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

解题步骤 8.8

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

解题步骤 8.9

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$9$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{3}$

$0$

$9 x$

$1$

解题步骤 8.10

最终答案为商加上余数除以除数。

$x + \frac{9 x - 1}{x^{2} - 9}$

解题步骤 8.11

斜渐近线是长除法结果的多项式部分。

$y = x$

解题步骤 9

这是所有渐近线的集合。

垂直渐近线： $x = - 3, 3$

不存在水平渐近线

斜渐近线： $y = x$

解题步骤 10

初级微积分 示例

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