初级微积分示例

$f (x) = \frac{2 x^{2}}{x^{2 - 1}}$

解题步骤 1

求在何处表达式 $\frac{2 x^{2}}{x^{2 - 1}}$ 无定义。

$x = 0$

解题步骤 2

垂直渐近线出现在无穷不连续点的所在区域。

不存在垂直渐近线

解题步骤 3

思考一下有理函数 $R (x) = \frac{a x^{n}}{b x^{m}}$ ，其中 $n$ 是分子的幂， $m$ 是分母的幂。

1. 如果 $n < m$ ，那么 X 轴，即 $y = 0$ 为水平渐近线。

2. 如果 $n = m$ ，那么水平渐近线为直线 $y = \frac{a}{b}$ 。

3. 如果 $n > m$ ，那么水平渐近线不存在（存在一条斜渐近线）。

解题步骤 4

求 $n$ 和 $m$ 。

$n = 2$

$m = 1$

解题步骤 5

因为 $n > m$ ，所以没有水平渐近线。

不存在水平渐近线

解题步骤 6

使用多项式除法求斜渐近线。

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解题步骤 6.1

约去 $x^{2}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 6.1.1

从 $2 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x)}{x}$

解题步骤 6.1.2

约去公因数。

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解题步骤 6.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{x (2 x)}{x^{1}}$

解题步骤 6.1.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.3

约去公因数。

$\frac{x (2 x)}{x \cdot 1}$

解题步骤 6.1.2.4

重写表达式。

$\frac{2 x}{1}$

解题步骤 6.1.2.5

用 $2 x$ 除以 $1$ 。

$2 x$

$2 x$

$2 x$

解题步骤 6.2

由于进行多项式除法后没有多项式部分剩余，所以不存在斜渐近线。

不存在斜渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 7

这是所有渐近线的集合。

不存在垂直渐近线

不存在水平渐近线

不存在斜渐近线

解题步骤 8

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$