初级微积分示例

$\cos (2 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , $[0, 2 π]$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$2 x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$2 x = \frac{π}{4}$

解题步骤 3

将 $2 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 x = \frac{π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{π}{4}}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 3.3.2

乘以 $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 3.3.2.1

将 $\frac{π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 3.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{π}{8}$

解题步骤 4

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$2 x = 2 π - \frac{π}{4}$

解题步骤 5

求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

化简。

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解题步骤 5.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.1.2

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.1.3

在公分母上合并分子。

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.1.4

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$2 x = \frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 5.1.5

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$2 x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 5.2

将 $2 x = \frac{7 π}{4}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 5.2.1

将 $2 x = \frac{7 π}{4}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

解题步骤 5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

解题步骤 5.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\frac{7 π}{4}}{2}$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

将分子乘以分母的倒数。

$x = \frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$

解题步骤 5.2.3.2

乘以 $\frac{7 π}{4} \cdot \frac{1}{2}$ 。

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解题步骤 5.2.3.2.1

将 $\frac{7 π}{4}$ 乘以 $\frac{1}{2}$ 。

$x = \frac{7 π}{4 \cdot 2}$

解题步骤 5.2.3.2.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{7 π}{8}$

解题步骤 6

求 $\cos (2 x)$ 的周期。

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解题步骤 6.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 6.2

使用周期公式中的 $2$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 2 |}$

解题步骤 6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $2$ 之间的距离为 $2$ 。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.4.1

约去公因数。

$\frac{2 π}{2}$

解题步骤 6.4.2

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 7

$\cos (2 x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

求在区间 $[0, 2 π]$ 内能够产生值的 $n$ 的值。

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解题步骤 8.1

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π]$ 中。

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解题步骤 8.1.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{8} + π (0)$

解题步骤 8.1.2

化简。

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解题步骤 8.1.2.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{π}{8} + 0$

解题步骤 8.1.2.2

将 $\frac{π}{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{π}{8}$

解题步骤 8.1.3

区间 $[0, 2 π]$ 包含 $\frac{π}{8}$ 。

$x = \frac{π}{8}$

解题步骤 8.2

将 $0$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π]$ 中。

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解题步骤 8.2.1

将 $0$ 代入 $n$ 。

$\frac{7 π}{8} + π (0)$

解题步骤 8.2.2

化简。

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解题步骤 8.2.2.1

将 $π$ 乘以 $0$ 。

$\frac{7 π}{8} + 0$

解题步骤 8.2.2.2

将 $\frac{7 π}{8}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{7 π}{8}$

解题步骤 8.2.3

区间 $[0, 2 π]$ 包含 $\frac{7 π}{8}$ 。

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}$

解题步骤 8.3

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π]$ 中。

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解题步骤 8.3.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{π}{8} + π (1)$

解题步骤 8.3.2

化简。

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解题步骤 8.3.2.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{π}{8} + π$

解题步骤 8.3.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 8.3.2.3

合并分数。

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解题步骤 8.3.2.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

解题步骤 8.3.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π + π \cdot 8}{8}$

解题步骤 8.3.2.4

化简分子。

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解题步骤 8.3.2.4.1

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{π + 8 \cdot π}{8}$

解题步骤 8.3.2.4.2

将 $π$ 和 $8 π$ 相加。

$\frac{9 π}{8}$

解题步骤 8.3.3

区间 $[0, 2 π]$ 包含 $\frac{9 π}{8}$ 。

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}$

解题步骤 8.4

将 $1$ 代入 $n$ 并化简，看结果是否包含在 $[0, 2 π]$ 中。

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解题步骤 8.4.1

将 $1$ 代入 $n$ 。

$\frac{7 π}{8} + π (1)$

解题步骤 8.4.2

化简。

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解题步骤 8.4.2.1

将 $π$ 乘以 $1$ 。

$\frac{7 π}{8} + π$

解题步骤 8.4.2.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{7 π}{8} + π \cdot \frac{8}{8}$

解题步骤 8.4.2.3

合并分数。

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解题步骤 8.4.2.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{8}{8}$ 。

$\frac{7 π}{8} + \frac{π \cdot 8}{8}$

解题步骤 8.4.2.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{7 π + π \cdot 8}{8}$

解题步骤 8.4.2.4

化简分子。

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解题步骤 8.4.2.4.1

将 $8$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{7 π + 8 \cdot π}{8}$

解题步骤 8.4.2.4.2

将 $7 π$ 和 $8 π$ 相加。

$\frac{15 π}{8}$

解题步骤 8.4.3

区间 $[0, 2 π]$ 包含 $\frac{15 π}{8}$ 。

$x = \frac{π}{8}, \frac{7 π}{8}, \frac{9 π}{8}, \frac{15 π}{8}$

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