初级微积分示例

$x^{3} - 27 x - 54$

解题步骤 1

使用有理根检验法因式分解 $x^{3} - 27 x - 54$ 。

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解题步骤 1.1

如果一个多项式函数的各项系数都为整数，则每个有理零点应为 $\frac{p}{q}$ 的形式，其中 $p$ 为常数的因数，而 $q$ 为首项系数的因数。

$p = \pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

$q = \pm 1$

解题步骤 1.2

求 $\pm \frac{p}{q}$ 的所有组合。这些将是多项式函数的可能根。

$\pm 1, \pm 54, \pm 2, \pm 27, \pm 3, \pm 18, \pm 6, \pm 9$

解题步骤 1.3

代入 $- 3$ 并化简表达式。在本例中，表达式等于 $0$ ，所以 $- 3$ 是多项式的根。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 3$ 代入多项式。

${(- 3)}^{3} - 27 \cdot - 3 - 54$

解题步骤 1.3.2

对 $- 3$ 进行 $3$ 次方运算。

$- 27 - 27 \cdot - 3 - 54$

解题步骤 1.3.3

将 $- 27$ 乘以 $- 3$ 。

$- 27 + 81 - 54$

解题步骤 1.3.4

将 $- 27$ 和 $81$ 相加。

$54 - 54$

解题步骤 1.3.5

从 $54$ 中减去 $54$ 。

$0$

解题步骤 1.4

因为 $- 3$ 是一个已知的根，所以将多项式除以 $x + 3$ 求商式。得到的多项式之后可以用来求其余的根。

$\frac{x^{3} - 27 x - 54}{x + 3}$

解题步骤 1.5

用 $x^{3} - 27 x - 54$ 除以 $x + 3$ 。

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解题步骤 1.5.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$3$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$27 x$

$54$

解题步骤 1.5.2

将被除数中的最高阶项 $x^{3}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x^{2}$
	$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$

解题步骤 1.5.3

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			+	$x^{3}$	+	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{3} + 3 x^{2}$ 中的所有符号

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$

解题步骤 1.5.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$

解题步骤 1.5.7

将被除数中的最高阶项 $- 3 x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$

解题步骤 1.5.8

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					-	$3 x^{2}$	-	$9 x$

解题步骤 1.5.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 3 x^{2} - 9 x$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$

解题步骤 1.5.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$

解题步骤 1.5.11

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x^{2}$	-	$3 x$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	-	$54$

解题步骤 1.5.12

将被除数中的最高阶项 $- 18 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	-	$54$

解题步骤 1.5.13

将新的商式项乘以除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	-	$54$
							-	$18 x$	-	$54$

解题步骤 1.5.14

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 18 x - 54$ 中的所有符号

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	-	$54$
							+	$18 x$	+	$54$

解题步骤 1.5.15

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x^{2}$	-	$3 x$	-	$18$
$x$	+	$3$		$x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$27 x$	-	$54$
			-	$x^{3}$	-	$3 x^{2}$
					-	$3 x^{2}$	-	$27 x$
					+	$3 x^{2}$	+	$9 x$
							-	$18 x$	-	$54$
							+	$18 x$	+	$54$
										$0$

解题步骤 1.5.16

因为余数为 $0$ ，所以最终答案是商。

$x^{2} - 3 x - 18$

解题步骤 1.6

将 $x^{3} - 27 x - 54$ 书写为因数的集合。

$(x + 3) (x^{2} - 3 x - 18)$

解题步骤 2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} - 3 x - 18$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 18$ ，和为 $- 3$ 。

$- 6, 3$

解题步骤 2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 3) ((x - 6) (x + 3))$

解题步骤 2.2

去掉多余的括号。

$(x + 3) (x - 6) (x + 3)$

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