初级微积分示例

$2 x^{4} - x^{3} - 51 x^{2} + 25 x + 25$

解题步骤 1

重新组合项。

$- x^{3} + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 2

从 $- x^{3} + 25 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

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解题步骤 2.1

从 $- x^{3}$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x^{2}) + 25 x + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 2.2

从 $25 x$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x^{2}) - x (- 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 2.3

从 $- x (x^{2}) - x (- 25)$ 中分解出因数 $- x$ 。

$- x (x^{2} - 25) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 3

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$- x (x^{2} - 5^{2}) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 4

因数。

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解题步骤 4.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$- x ((x + 5) (x - 5)) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 4.2

去掉多余的括号。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 x^{4} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 5

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 {(x^{2})}^{2} - 51 x^{2} + 25$

解题步骤 6

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 u + 25$

解题步骤 7

分组因式分解。

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解题步骤 7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot 25 = 50$ 并且它们的和为 $b = - 51$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $- 51 u$ 中分解出因数 $- 51$ 。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 51 (u) + 25$

解题步骤 7.1.2

把 $- 51$ 重写为 $- 1$ 加 $- 50$

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} + (- 1 - 50) u + 25$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$- x (x + 5) (x - 5) + 2 u^{2} - 1 u - 50 u + 25$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u^{2} - 1 u) - 50 u + 25$

解题步骤 7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- x (x + 5) (x - 5) + u (2 u - 1) - 25 (2 u - 1)$

解题步骤 7.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u - 1$ 来因式分解多项式。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 u - 1) (u - 25)$

解题步骤 8

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 25)$

解题步骤 9

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x^{2} - 5^{2})$

解题步骤 10

因数。

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解题步骤 10.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) ((x + 5) (x - 5))$

解题步骤 10.2

去掉多余的括号。

$- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

解题步骤 11

从 $- x (x + 5) (x - 5) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ 中分解出因数 $(x + 5) (x - 5)$ 。

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解题步骤 11.1

从 $- x (x + 5) (x - 5)$ 中分解出因数 $(x + 5) (x - 5)$ 。

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$

解题步骤 11.2

从 $(2 x^{2} - 1) (x + 5) (x - 5)$ 中分解出因数 $(x + 5) (x - 5)$ 。

$(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$

解题步骤 11.3

从 $(x + 5) (x - 5) (- x) + (x + 5) (x - 5) (2 x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $(x + 5) (x - 5)$ 。

$(x + 5) (x - 5) (- x + 2 x^{2} - 1)$

解题步骤 12

使 $u = x$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x$ 。

$(x + 5) (x - 5) (- u + 2 u^{2} - 1)$

解题步骤 13

分组因式分解。

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解题步骤 13.1

重新排序项。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - u - 1)$

解题步骤 13.2

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ 并且它们的和为 $b = - 1$ 。

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解题步骤 13.2.1

从 $- u$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} - (u) - 1)$

解题步骤 13.2.2

把 $- 1$ 重写为 $1$ 加 $- 2$

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1)$

解题步骤 13.2.3

运用分配律。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1)$

解题步骤 13.2.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$(x + 5) (x - 5) (2 u^{2} + u - 2 u - 1)$

解题步骤 13.3

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 13.3.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(x + 5) (x - 5) ((2 u^{2} + u) - 2 u - 1)$

解题步骤 13.3.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$(x + 5) (x - 5) (u (2 u + 1) - (2 u + 1))$

解题步骤 13.4

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(x + 5) (x - 5) ((2 u + 1) (u - 1))$

解题步骤 14

因数。

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解题步骤 14.1

使用 $x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(x + 5) (x - 5) ((2 x + 1) (x - 1))$

解题步骤 14.2

去掉多余的括号。

$(x + 5) (x - 5) (2 x + 1) (x - 1)$

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