初级微积分示例

$\sin (x) + \sqrt{2} = - \sin (x)$

解题步骤 1

将所有包含 $\sin (x)$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 1.1

在等式两边都加上 $\sin (x)$ 。

$\sin (x) + \sqrt{2} + \sin (x) = 0$

解题步骤 1.2

将 $\sin (x)$ 和 $\sin (x)$ 相加。

$2 \sin (x) + \sqrt{2} = 0$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $\sqrt{2}$ 。

$2 \sin (x) = - \sqrt{2}$

解题步骤 3

将 $2 \sin (x) = - \sqrt{2}$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.1

将 $2 \sin (x) = - \sqrt{2}$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 3.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 4

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 5

化简右边。

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解题步骤 5.1

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 6

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

解题步骤 7

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 7.1

从 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

解题步骤 7.2

得出的角 $\frac{5 π}{4}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{4} + π$ 共边。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 8

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 8.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 8.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 8.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 8.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 9

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 9.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + 2 π$

解题步骤 9.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.3

合并分数。

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解题步骤 9.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 9.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 9.4

化简分子。

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解题步骤 9.4.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$\frac{8 π - π}{4}$

解题步骤 9.4.2

从 $8 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{7 π}{4}$

解题步骤 9.5

列出新角。

$x = \frac{7 π}{4}$

解题步骤 10

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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