初级微积分示例

$\ln (x^{2} - 7 x + 11) = 0$

解题步骤 1

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x^{2} - 7 x + 11)} = e^{0}$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\ln (x^{2} - 7 x + 11) = 0$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{0} = x^{2} - 7 x + 11$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} - 7 x + 11 = e^{0}$ 。

$x^{2} - 7 x + 11 = e^{0}$

解题步骤 3.2

任何数的 $0$ 次方都是 $1$ 。

$x^{2} - 7 x + 11 = 1$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x^{2} - 7 x + 11 - 1 = 0$

解题步骤 3.4

从 $11$ 中减去 $1$ 。

$x^{2} - 7 x + 10 = 0$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 7 x + 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $10$ ，和为 $- 7$ 。

$- 5, - 2$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 5) (x - 2) = 0$

解题步骤 3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.7

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 3.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(x - 5) (x - 2) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, 2$

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