初级微积分示例

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} = 5$

解题步骤 1

两边同时乘以 $4$ 。

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

解题步骤 2

化简。

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解题步骤 2.1

化简左边。

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解题步骤 2.1.1

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 2.1.1.1

约去公因数。

$\frac{3^{x} - 3^{- x}}{4} \cdot 4 = 5 \cdot 4$

解题步骤 2.1.1.2

重写表达式。

$3^{x} - 3^{- x} = 5 \cdot 4$

解题步骤 2.2

化简右边。

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解题步骤 2.2.1

将 $5$ 乘以 $4$ 。

$3^{x} - 3^{- x} = 20$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $3^{- x}$ 重写为乘方形式。

$3^{x} - {(3^{x})}^{- 1} = 20$

解题步骤 3.2

代入 $u$ 替换 $3^{x}$ 。

$u - u^{- 1} = 20$

解题步骤 3.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u - \frac{1}{u} = 20$

解题步骤 3.4

求解 $u$ 。

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解题步骤 3.4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 3.4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

解题步骤 3.4.2

将 $u - \frac{1}{u} = 20$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 3.4.2.1

将 $u - \frac{1}{u} = 20$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 20 u$

解题步骤 3.4.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.4.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 20 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 3.4.2.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{u}$ 中前置负号移到分子中。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.2

约去公因数。

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 20 u$

解题步骤 3.4.2.2.1.2.3

重写表达式。

$u^{2} - 1 = 20 u$

解题步骤 3.4.3

求解方程。

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解题步骤 3.4.3.1

从等式两边同时减去 $20 u$ 。

$u^{2} - 1 - 20 u = 0$

解题步骤 3.4.3.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.4.3.3

将 $a = 1$ 、 $b = - 20$ 和 $c = - 1$ 的值代入二次公式中并求解 $u$ 。

$\frac{20 \pm \sqrt{{(- 20)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4

化简。

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解题步骤 3.4.3.4.1

化简分子。

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解题步骤 3.4.3.4.1.1

对 $- 20$ 进行 $2$ 次方运算。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.4.3.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 1$ 。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{400 + 4}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.3

将 $400$ 和 $4$ 相加。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{404}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.4

将 $404$ 重写为 $2^{2} \cdot 101$ 。

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解题步骤 3.4.3.4.1.4.1

从 $404$ 中分解出因数 $4$ 。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{4 (101)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.4.2

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$u = \frac{20 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 101}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.1.5

从根式下提出各项。

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.4.3.4.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$u = \frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$

解题步骤 3.4.3.4.3

化简 $\frac{20 \pm 2 \sqrt{101}}{2}$ 。

$u = 10 \pm \sqrt{101}$

解题步骤 3.4.3.5

最终答案为两个解的组合。

$u = 10 + \sqrt{101}, 10 - \sqrt{101}$

解题步骤 3.5

代入 $10 + \sqrt{101}$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$10 + \sqrt{101} = 3^{x}$

解题步骤 3.6

求解 $10 + \sqrt{101} = 3^{x}$ 。

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解题步骤 3.6.1

将方程重写为 $3^{x} = 10 + \sqrt{101}$ 。

$3^{x} = 10 + \sqrt{101}$

解题步骤 3.6.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (10 + \sqrt{101})$

解题步骤 3.6.3

通过将 $x$ 移到对数外来展开 $\ln (3^{x})$ 。

$x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$

解题步骤 3.6.4

将 $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ 中的每一项除以 $\ln (3)$ 并化简。

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解题步骤 3.6.4.1

将 $x \ln (3) = \ln (10 + \sqrt{101})$ 中的每一项都除以 $\ln (3)$ 。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

解题步骤 3.6.4.2

化简左边。

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解题步骤 3.6.4.2.1

约去 $\ln (3)$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

解题步骤 3.6.4.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

解题步骤 3.7

代入 $10 - \sqrt{101}$ 替换 $u = 3^{x}$ 中的 $u$ 。

$10 - \sqrt{101} = 3^{x}$

解题步骤 3.8

求解 $10 - \sqrt{101} = 3^{x}$ 。

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解题步骤 3.8.1

将方程重写为 $3^{x} = 10 - \sqrt{101}$ 。

$3^{x} = 10 - \sqrt{101}$

解题步骤 3.8.2

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (3^{x}) = \ln (10 - \sqrt{101})$

解题步骤 3.8.3

因为 $\ln (10 - \sqrt{101})$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 3.8.4

$3^{x} = 10 - \sqrt{101}$ 无解

无解

解题步骤 3.9

列出使方程成立的解。

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = \frac{\ln (10 + \sqrt{101})}{\ln (3)}$

小数形式：

$x = 2.72910013 \dots$

初级微积分 示例

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