初级微积分示例

$\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{7}{10}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x - 1, x + 2, 10$

解题步骤 1.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.4

$10$ 具有因式 $2$ 和 $5$ 。

$2 \cdot 5$

解题步骤 1.5

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$10$

解题步骤 1.6

$x - 1$ 的因式是 $x - 1$ 本身。

$(x - 1) = x - 1$

$(x - 1)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.7

$x + 2$ 的因式是 $x + 2$ 本身。

$(x + 2) = x + 2$

$(x + 2)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.8

$x - 1, x + 2$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x - 1) (x + 2)$

解题步骤 1.9

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$10 (x - 1) (x + 2)$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{7}{10}$ 中的每一项乘以 $10 (x - 1) (x + 2)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 2} = \frac{7}{10}$ 中的每一项乘以 $10 (x - 1) (x + 2)$ 。

$\frac{1}{x - 1} (10 (x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$10 \frac{1}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.2

组合 $10$ 和 $\frac{1}{x - 1}$ 。

$\frac{10}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.3

约去 $x - 1$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{10}{x - 1} ((x - 1) (x + 2)) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.3.2

重写表达式。

$10 (x + 2) + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.4

运用分配律。

$10 x + 10 \cdot 2 + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.5

将 $10$ 乘以 $2$ 。

$10 x + 20 + \frac{1}{x + 2} (10 (x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.6

使用乘法的交换性质重写。

$10 x + 20 + 10 \frac{1}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.7

组合 $10$ 和 $\frac{1}{x + 2}$ 。

$10 x + 20 + \frac{10}{x + 2} ((x - 1) (x + 2)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.8

约去 $x + 2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.8.1

从 $(x - 1) (x + 2)$ 中分解出因数 $x + 2$ 。

$10 x + 20 + \frac{10}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.8.2

约去公因数。

$10 x + 20 + \frac{10}{x + 2} ((x + 2) (x - 1)) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.8.3

重写表达式。

$10 x + 20 + 10 (x - 1) = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.9

运用分配律。

$10 x + 20 + 10 x + 10 \cdot - 1 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.1.10

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$10 x + 20 + 10 x - 10 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $10 x$ 和 $10 x$ 相加。

$20 x + 20 - 10 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.2.2.2

从 $20$ 中减去 $10$ 。

$20 x + 10 = \frac{7}{10} (10 (x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $10$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $10 (x - 1) (x + 2)$ 中分解出因数 $10$ 。

$20 x + 10 = \frac{7}{10} (10 ((x - 1) (x + 2)))$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

$20 x + 10 = \frac{7}{10} (10 ((x - 1) (x + 2)))$

解题步骤 2.3.1.3

重写表达式。

$20 x + 10 = 7 ((x - 1) (x + 2))$

解题步骤 2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 1) (x + 2)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$20 x + 10 = 7 (x (x + 2) - 1 (x + 2))$

解题步骤 2.3.2.2

运用分配律。

$20 x + 10 = 7 (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 (x + 2))$

解题步骤 2.3.2.3

运用分配律。

$20 x + 10 = 7 (x \cdot x + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + x \cdot 2 - 1 x - 1 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + 2 \cdot x - 1 x - 1 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + 2 x - x - 1 \cdot 2)$

解题步骤 2.3.3.1.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + 2 x - x - 2)$

解题步骤 2.3.3.2

从 $2 x$ 中减去 $x$ 。

$20 x + 10 = 7 (x^{2} + x - 2)$

解题步骤 2.3.4

运用分配律。

$20 x + 10 = 7 x^{2} + 7 x + 7 \cdot - 2$

解题步骤 2.3.5

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$20 x + 10 = 7 x^{2} + 7 x - 14$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$7 x^{2} + 7 x - 14 = 20 x + 10$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $20 x$ 。

$7 x^{2} + 7 x - 14 - 20 x = 10$

解题步骤 3.2.2

从 $7 x$ 中减去 $20 x$ 。

$7 x^{2} - 13 x - 14 = 10$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $10$ 。

$7 x^{2} - 13 x - 14 - 10 = 0$

解题步骤 3.4

从 $- 14$ 中减去 $10$ 。

$7 x^{2} - 13 x - 24 = 0$

解题步骤 3.5

分组因式分解。

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解题步骤 3.5.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 7 \cdot - 24 = - 168$ 并且它们的和为 $b = - 13$ 。

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解题步骤 3.5.1.1

从 $- 13 x$ 中分解出因数 $- 13$ 。

$7 x^{2} - 13 x - 24 = 0$

解题步骤 3.5.1.2

把 $- 13$ 重写为 $8$ 加 $- 21$

$7 x^{2} + (8 - 21) x - 24 = 0$

解题步骤 3.5.1.3

运用分配律。

$7 x^{2} + 8 x - 21 x - 24 = 0$

解题步骤 3.5.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.5.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(7 x^{2} + 8 x) - 21 x - 24 = 0$

解题步骤 3.5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (7 x + 8) - 3 (7 x + 8) = 0$

解题步骤 3.5.3

通过因式分解出最大公因数 $7 x + 8$ 来因式分解多项式。

$(7 x + 8) (x - 3) = 0$

解题步骤 3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$7 x + 8 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.7

将 $7 x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $7 x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$7 x + 8 = 0$

解题步骤 3.7.2

求解 $x$ 的 $7 x + 8 = 0$ 。

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解题步骤 3.7.2.1

从等式两边同时减去 $8$ 。

$7 x = - 8$

解题步骤 3.7.2.2

将 $7 x = - 8$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 3.7.2.2.1

将 $7 x = - 8$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

解题步骤 3.7.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.7.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 3.7.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 x}{7} = \frac{- 8}{7}$

解题步骤 3.7.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 8}{7}$

解题步骤 3.7.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.7.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{8}{7}$

解题步骤 3.8

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.8.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(7 x + 8) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{8}{7}, 3$

解题步骤 4

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{8}{7}, 3$

小数形式：

$x = - 1.\overline{142857}, 3$

带分数形式：

$x = - 1 \frac{1}{7}, 3$

初级微积分 示例

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