初级微积分示例

$\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{12}$

解题步骤 1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x + 4, x + 5, 12$

解题步骤 1.2

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 1.3

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 1.4

$12$ 的质因数是 $2 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.4.1

$12$ 具有因式 $2$ 和 $6$ 。

$2 \cdot 6$

解题步骤 1.4.2

$6$ 具有因式 $2$ 和 $3$ 。

$2 \cdot 2 \cdot 3$

解题步骤 1.5

乘以 $2 \cdot 2 \cdot 3$ 。

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解题步骤 1.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 \cdot 3$

解题步骤 1.5.2

将 $4$ 乘以 $3$ 。

$12$

解题步骤 1.6

$x + 4$ 的因式是 $x + 4$ 本身。

$(x + 4) = x + 4$

$(x + 4)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.7

$x + 5$ 的因式是 $x + 5$ 本身。

$(x + 5) = x + 5$

$(x + 5)$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 1.8

$x + 4, x + 5$ 的最小公倍数为在任一项中出现次数最多的所有因数的乘积。

$(x + 4) (x + 5)$

解题步骤 1.9

某些数的最小公倍数 $LCM$ 是这些均为其因数的最小数。

$12 (x + 4) (x + 5)$

解题步骤 2

将 $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{12}$ 中的每一项乘以 $12 (x + 4) (x + 5)$ 以消去分数。

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解题步骤 2.1

将 $\frac{1}{x + 4} - \frac{1}{x + 5} = \frac{1}{12}$ 中的每一项乘以 $12 (x + 4) (x + 5)$ 。

$\frac{1}{x + 4} (12 (x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$12 \frac{1}{x + 4} ((x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.2

组合 $12$ 和 $\frac{1}{x + 4}$ 。

$\frac{12}{x + 4} ((x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.3

约去 $x + 4$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.1

约去公因数。

$\frac{12}{x + 4} ((x + 4) (x + 5)) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.3.2

重写表达式。

$12 (x + 5) - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.4

运用分配律。

$12 x + 12 \cdot 5 - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.5

将 $12$ 乘以 $5$ 。

$12 x + 60 - \frac{1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.6

约去 $x + 5$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.6.1

将 $- \frac{1}{x + 5}$ 中前置负号移到分子中。

$12 x + 60 + \frac{- 1}{x + 5} (12 (x + 4) (x + 5)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.6.2

从 $12 (x + 4) (x + 5)$ 中分解出因数 $x + 5$ 。

$12 x + 60 + \frac{- 1}{x + 5} ((x + 5) (12 (x + 4))) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.6.3

约去公因数。

$12 x + 60 + \frac{- 1}{x + 5} ((x + 5) (12 (x + 4))) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.6.4

重写表达式。

$12 x + 60 - (12 (x + 4)) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.7

将 $12$ 乘以 $- 1$ 。

$12 x + 60 - 12 (x + 4) = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.8

运用分配律。

$12 x + 60 - 12 x - 12 \cdot 4 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.1.9

将 $- 12$ 乘以 $4$ 。

$12 x + 60 - 12 x - 48 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.2

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.2.2.1

合并 $12 x + 60 - 12 x - 48$ 中相反的项。

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解题步骤 2.2.2.1.1

从 $12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$0 + 60 - 48 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.2.1.2

将 $0$ 和 $60$ 相加。

$60 - 48 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.2.2.2

从 $60$ 中减去 $48$ 。

$12 = \frac{1}{12} (12 (x + 4) (x + 5))$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

约去 $12$ 的公因数。

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解题步骤 2.3.1.1

从 $12 (x + 4) (x + 5)$ 中分解出因数 $12$ 。

$12 = \frac{1}{12} (12 ((x + 4) (x + 5)))$

解题步骤 2.3.1.2

约去公因数。

$12 = \frac{1}{12} (12 ((x + 4) (x + 5)))$

解题步骤 2.3.1.3

重写表达式。

$12 = (x + 4) (x + 5)$

解题步骤 2.3.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x + 5)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

运用分配律。

$12 = x (x + 5) + 4 (x + 5)$

解题步骤 2.3.2.2

运用分配律。

$12 = x \cdot x + x \cdot 5 + 4 (x + 5)$

解题步骤 2.3.2.3

运用分配律。

$12 = x \cdot x + x \cdot 5 + 4 x + 4 \cdot 5$

解题步骤 2.3.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$12 = x^{2} + x \cdot 5 + 4 x + 4 \cdot 5$

解题步骤 2.3.3.1.2

将 $5$ 移到 $x$ 的左侧。

$12 = x^{2} + 5 \cdot x + 4 x + 4 \cdot 5$

解题步骤 2.3.3.1.3

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$12 = x^{2} + 5 x + 4 x + 20$

解题步骤 2.3.3.2

将 $5 x$ 和 $4 x$ 相加。

$12 = x^{2} + 9 x + 20$

解题步骤 3

求解方程。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} + 9 x + 20 = 12$ 。

$x^{2} + 9 x + 20 = 12$

解题步骤 3.2

从等式两边同时减去 $12$ 。

$x^{2} + 9 x + 20 - 12 = 0$

解题步骤 3.3

从 $20$ 中减去 $12$ 。

$x^{2} + 9 x + 8 = 0$

解题步骤 3.4

使用 AC 法来对 $x^{2} + 9 x + 8$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $8$ ，和为 $9$ 。

$1, 8$

解题步骤 3.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 1) (x + 8) = 0$

解题步骤 3.5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

$x + 8 = 0$

解题步骤 3.6

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.6.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.6.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.7

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x + 8$ 设为等于 $0$ 。

$x + 8 = 0$

解题步骤 3.7.2

从等式两边同时减去 $8$ 。

$x = - 8$

解题步骤 3.8

最终解为使 $(x + 1) (x + 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, - 8$

初级微积分 示例

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