初级微积分示例

$\cos (\frac{x}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$\frac{x}{2} = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 2

化简右边。

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解题步骤 2.1

$\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ 的准确值为 $\frac{3 π}{4}$ 。

$\frac{x}{2} = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 3

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

化简左边。

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解题步骤 4.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{3 π}{4}$

解题步骤 4.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 \frac{3 π}{4}$

解题步骤 4.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{3 π}{2 (2)}$

解题步骤 4.2.1.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 4.2.1.3

重写表达式。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 5

余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解，应从 $2 π$ 中减去参考角以求第三象限中的解。

$\frac{x}{2} = 2 π - \frac{3 π}{4}$

解题步骤 6

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

等式两边同时乘以 $2$ 。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 6.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.2.1

化简左边。

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解题步骤 6.2.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.1.1.1

约去公因数。

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 6.2.1.1.2

重写表达式。

$x = 2 (2 π - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 6.2.2

化简右边。

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解题步骤 6.2.2.1

化简 $2 (2 π - \frac{3 π}{4})$ 。

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解题步骤 6.2.2.1.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 (2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 6.2.2.1.2

化简项。

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解题步骤 6.2.2.1.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = 2 (\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4})$

解题步骤 6.2.2.1.2.2

在公分母上合并分子。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 6.2.2.1.2.3.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 (2)}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3.2

约去公因数。

$x = 2 \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2 \cdot 2}$

解题步骤 6.2.2.1.2.3.3

重写表达式。

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{2}$

解题步骤 6.2.2.1.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.2.1.3.1

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{8 π - 3 π}{2}$

解题步骤 6.2.2.1.3.2

从 $8 π$ 中减去 $3 π$ 。

$x = \frac{5 π}{2}$

解题步骤 7

求 $\cos (\frac{x}{2})$ 的周期。

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解题步骤 7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 7.2

使用周期公式中的 $\frac{1}{2}$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

解题步骤 7.3

$\frac{1}{2}$ 约为 $0.5$ ，因其为正数，所以去掉绝对值

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

解题步骤 7.4

将分子乘以分母的倒数。

$2 π \cdot 2$

解题步骤 7.5

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 π$

解题步骤 8

$\cos (\frac{x}{2})$ 函数的周期为 $4 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $4 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{2} + 4 π n, \frac{5 π}{2} + 4 π n$ ，对于任意整数 $n$

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