初级微积分示例

$x^{5} - 81 x = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

从 $x^{5} - 81 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} - 81 x = 0$

解题步骤 1.1.2

从 $- 81 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x^{4} + x \cdot - 81 = 0$

解题步骤 1.1.3

从 $x \cdot x^{4} + x \cdot - 81$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x^{4} - 81) = 0$

解题步骤 1.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} - 81) = 0$

解题步骤 1.3

将 $81$ 重写为 $9^{2}$ 。

$x ({(x^{2})}^{2} - 9^{2}) = 0$

解题步骤 1.4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x^{2}$ 和 $b = 9$ 。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 9)) = 0$

解题步骤 1.5

因数。

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解题步骤 1.5.1

化简。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x ((x^{2} + 9) (x^{2} - 3^{2})) = 0$

解题步骤 1.5.1.2

因数。

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解题步骤 1.5.1.2.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 3$ 。

$x ((x^{2} + 9) ((x + 3) (x - 3))) = 0$

解题步骤 1.5.1.2.2

去掉多余的括号。

$x ((x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3)) = 0$

解题步骤 1.5.2

去掉多余的括号。

$x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x^{2} + 9 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $x^{2} + 9$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + 9 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + 9 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

从等式两边同时减去 $9$ 。

$x^{2} = - 9$

解题步骤 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 9}$

解题步骤 4.2.3

化简 $\pm \sqrt{- 9}$ 。

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解题步骤 4.2.3.1

将 $- 9$ 重写为 $- 1 (9)$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1 (9)}$

解题步骤 4.2.3.2

将 $\sqrt{- 1 (9)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$ 。

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 4.2.3.3

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{9}$

解题步骤 4.2.3.4

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \pm i \cdot \sqrt{3^{2}}$

解题步骤 4.2.3.5

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm i \cdot 3$

解题步骤 4.2.3.6

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \pm 3 i$

解题步骤 4.2.4

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 4.2.4.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 3 i$

解题步骤 4.2.4.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 3 i$

解题步骤 4.2.4.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 3 i, - 3 i$

解题步骤 5

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 7

最终解为使 $x (x^{2} + 9) (x + 3) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 3 i, - 3 i, - 3, 3$

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