初级微积分示例

$2 \sin^{2} (x) - 7 \sin (x) - 4 = 0$

解题步骤 1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 1.1

使 $u = \sin (x)$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $\sin (x)$ 。

$2 u^{2} - 7 u - 4 = 0$

解题步骤 1.2

分组因式分解。

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解题步骤 1.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 2 \cdot - 4 = - 8$ 并且它们的和为 $b = - 7$ 。

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解题步骤 1.2.1.1

从 $- 7 u$ 中分解出因数 $- 7$ 。

$2 u^{2} - 7 u - 4 = 0$

解题步骤 1.2.1.2

把 $- 7$ 重写为 $1$ 加 $- 8$

$2 u^{2} + (1 - 8) u - 4 = 0$

解题步骤 1.2.1.3

运用分配律。

$2 u^{2} + 1 u - 8 u - 4 = 0$

解题步骤 1.2.1.4

将 $u$ 乘以 $1$ 。

$2 u^{2} + u - 8 u - 4 = 0$

解题步骤 1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 1.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(2 u^{2} + u) - 8 u - 4 = 0$

解题步骤 1.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$u (2 u + 1) - 4 (2 u + 1) = 0$

解题步骤 1.2.3

通过因式分解出最大公因数 $2 u + 1$ 来因式分解多项式。

$(2 u + 1) (u - 4) = 0$

解题步骤 1.3

使用 $\sin (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 4) = 0$

解题步骤 2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) - 4 = 0$

解题步骤 3

将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将 $2 \sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$2 \sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的 $2 \sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$2 \sin (x) = - 1$

解题步骤 3.2.2

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 3.2.2.1

将 $2 \sin (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.2.2.2.1.2

用 $\sin (x)$ 除以 $1$ 。

$\sin (x) = \frac{- 1}{2}$

解题步骤 3.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

解题步骤 3.2.3

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

解题步骤 3.2.4

化简右边。

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解题步骤 3.2.4.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ 的准确值为 $- \frac{π}{6}$ 。

$x = - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.5

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

解题步骤 3.2.6

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 3.2.6.1

从 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

解题步骤 3.2.6.2

得出的角 $\frac{7 π}{6}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{6} + π$ 共边。

$x = \frac{7 π}{6}$

解题步骤 3.2.7

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 3.2.7.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 3.2.7.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 3.2.7.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 3.2.7.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 3.2.8

将 $2 π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $2 π$ 加到 $- \frac{π}{6}$ 以求正角。

$- \frac{π}{6} + 2 π$

解题步骤 3.2.8.2

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{6}{6}$ 。

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.8.3

合并分数。

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解题步骤 3.2.8.3.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{6}{6}$ 。

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

解题步骤 3.2.8.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

解题步骤 3.2.8.4

化简分子。

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解题步骤 3.2.8.4.1

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{12 π - π}{6}$

解题步骤 3.2.8.4.2

从 $12 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{11 π}{6}$

解题步骤 3.2.8.5

列出新角。

$x = \frac{11 π}{6}$

解题步骤 3.2.9

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 4

将 $\sin (x) - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\sin (x) - 4$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) - 4 = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) - 4 = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$\sin (x) = 4$

解题步骤 4.2.2

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $4$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 5

最终解为使 $(2 \sin (x) + 1) (\sin (x) - 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

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