初级微积分示例

$2 \sqrt{x + 4} = x + 1$

解题步骤 1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(2 \sqrt{x + 4})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2

化简方程的两边。

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解题步骤 2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x + 4}$ 重写成 ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2

化简左边。

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解题步骤 2.2.1

化简 ${(2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 2.2.1.1

对 $2 {(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

$2^{2} {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$4 {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.3

将 ${({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$4 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.3.2.1

约去公因数。

$4 {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.3.2.2

重写表达式。

$4 {(x + 4)}^{1} = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.4

化简。

$4 (x + 4) = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.5

运用分配律。

$4 x + 4 \cdot 4 = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.2.1.6

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$4 x + 16 = {(x + 1)}^{2}$

解题步骤 2.3

化简右边。

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解题步骤 2.3.1

化简 ${(x + 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.1.1

将 ${(x + 1)}^{2}$ 重写为 $(x + 1) (x + 1)$ 。

$4 x + 16 = (x + 1) (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x + 1)$ 。

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解题步骤 2.3.1.2.1

运用分配律。

$4 x + 16 = x (x + 1) + 1 (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.2.2

运用分配律。

$4 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1)$

解题步骤 2.3.1.2.3

运用分配律。

$4 x + 16 = x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 x + 16 = x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.2

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 16 = x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.3

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 16 = x^{2} + x + x + 1 \cdot 1$

解题步骤 2.3.1.3.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$4 x + 16 = x^{2} + x + x + 1$

解题步骤 2.3.1.3.2

将 $x$ 和 $x$ 相加。

$4 x + 16 = x^{2} + 2 x + 1$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} + 2 x + 1 = 4 x + 16$

解题步骤 3.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$x^{2} + 2 x + 1 - 4 x = 16$

解题步骤 3.2.2

从 $2 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 = 16$

解题步骤 3.3

从等式两边同时减去 $16$ 。

$x^{2} - 2 x + 1 - 16 = 0$

解题步骤 3.4

从 $1$ 中减去 $16$ 。

$x^{2} - 2 x - 15 = 0$

解题步骤 3.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 15$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 15$ ，和为 $- 2$ 。

$- 5, 3$

解题步骤 3.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 5) (x + 3) = 0$

解题步骤 3.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.7

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.7.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 3.7.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 3.8

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x + 3$ 设为等于 $0$ 。

$x + 3 = 0$

解题步骤 3.8.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x = - 3$

解题步骤 3.9

最终解为使 $(x - 5) (x + 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 3$

解题步骤 4

排除不能使 $2 \sqrt{x + 4} = x + 1$ 成立的解。

$x = 5$

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