初级微积分示例

$2 + 13 \sin (x) = 14 \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $14 \cos^{2} (x)$ 。

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cos^{2} (x) = 0$

解题步骤 2

使用基于 $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ 恒等式的 $- 14 (1 - \sin^{2} (x))$ 替换 $- 14 \cos^{2} (x)$ 。

$2 + 13 \sin (x) - 14 (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$2 + 13 \sin (x) - 14 \cdot 1 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.2

将 $- 14$ 乘以 $1$ 。

$2 + 13 \sin (x) - 14 - 14 (- \sin^{2} (x)) = 0$

解题步骤 3.3

将 $- 1$ 乘以 $- 14$ 。

$2 + 13 \sin (x) - 14 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 4

从 $2$ 中减去 $14$ 。

$13 \sin (x) - 12 + 14 \sin^{2} (x) = 0$

解题步骤 5

重新排列多项式。

$14 \sin^{2} (x) + 13 \sin (x) - 12 = 0$

解题步骤 6

代入 $u$ 替换 $\sin (x)$ 。

$14 {(u)}^{2} + 13 (u) - 12 = 0$

解题步骤 7

分组因式分解。

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解题步骤 7.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 14 \cdot - 12 = - 168$ 并且它们的和为 $b = 13$ 。

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解题步骤 7.1.1

从 $13 u$ 中分解出因数 $13$ 。

$14 u^{2} + 13 u - 12 = 0$

解题步骤 7.1.2

把 $13$ 重写为 $- 8$ 加 $21$

$14 u^{2} + (- 8 + 21) u - 12 = 0$

解题步骤 7.1.3

运用分配律。

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

解题步骤 7.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 7.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$14 u^{2} - 8 u + 21 u - 12 = 0$

解题步骤 7.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$2 u (7 u - 4) + 3 (7 u - 4) = 0$

解题步骤 7.3

通过因式分解出最大公因数 $7 u - 4$ 来因式分解多项式。

$(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$

解题步骤 8

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$7 u - 4 = 0$

$2 u + 3 = 0$

解题步骤 9

将 $7 u - 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 9.1

将 $7 u - 4$ 设为等于 $0$ 。

$7 u - 4 = 0$

解题步骤 9.2

求解 $u$ 的 $7 u - 4 = 0$ 。

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解题步骤 9.2.1

在等式两边都加上 $4$ 。

$7 u = 4$

解题步骤 9.2.2

将 $7 u = 4$ 中的每一项除以 $7$ 并化简。

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解题步骤 9.2.2.1

将 $7 u = 4$ 中的每一项都除以 $7$ 。

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

解题步骤 9.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 9.2.2.2.1

约去 $7$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{7 u}{7} = \frac{4}{7}$

解题步骤 9.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{4}{7}$

解题步骤 10

将 $2 u + 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 10.1

将 $2 u + 3$ 设为等于 $0$ 。

$2 u + 3 = 0$

解题步骤 10.2

求解 $u$ 的 $2 u + 3 = 0$ 。

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解题步骤 10.2.1

从等式两边同时减去 $3$ 。

$2 u = - 3$

解题步骤 10.2.2

将 $2 u = - 3$ 中的每一项除以 $2$ 并化简。

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解题步骤 10.2.2.1

将 $2 u = - 3$ 中的每一项都除以 $2$ 。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 10.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 10.2.2.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 10.2.2.2.1.2

用 $u$ 除以 $1$ 。

$u = \frac{- 3}{2}$

解题步骤 10.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 10.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$u = - \frac{3}{2}$

解题步骤 11

最终解为使 $(7 u - 4) (2 u + 3) = 0$ 成立的所有值。

$u = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

解题步骤 12

代入 $\sin (x)$ 替换 $u$ 。

$\sin (x) = \frac{4}{7}, - \frac{3}{2}$

解题步骤 13

建立每一个解以求解 $x$ 。

$\sin (x) = \frac{4}{7}$

$\sin (x) = - \frac{3}{2}$

解题步骤 14

在 $\sin (x) = \frac{4}{7}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 14.1

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (\frac{4}{7})$

解题步骤 14.2

化简右边。

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解题步骤 14.2.1

计算 $\arcsin (\frac{4}{7})$ 。

$x = 0.60824557$

解题步骤 14.3

正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解，可从 $π$ 减去参考角以求第二象限中的解。

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

解题步骤 14.4

求解 $x$ 。

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解题步骤 14.4.1

去掉圆括号。

$x = 3.14159265 - 0.60824557$

解题步骤 14.4.2

去掉圆括号。

$x = (3.14159265) - 0.60824557$

解题步骤 14.4.3

从 $3.14159265$ 中减去 $0.60824557$ 。

$x = 2.53334707$

解题步骤 14.5

求 $\sin (x)$ 的周期。

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解题步骤 14.5.1

函数的周期可利用 $\frac{2 π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{2 π}{| b |}$

解题步骤 14.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

解题步骤 14.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{2 π}{1}$

解题步骤 14.5.4

用 $2 π$ 除以 $1$ 。

$2 π$

解题步骤 14.6

$\sin (x)$ 函数的周期为 $2 π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $2 π$ 弧度将重复出现。

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 15

在 $\sin (x) = - \frac{3}{2}$ 中求解 $x$ 。

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解题步骤 15.1

正弦函数的值域是 $- 1 \leq y \leq 1$ 。因为 $- \frac{3}{2}$ 不在该值域内，所以无解。

无解

解题步骤 16

列出所有解。

$x = 0.60824557 + 2 π n, 2.53334707 + 2 π n$ ，对于任意整数 $n$

初级微积分 示例

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