初级微积分示例

$4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$

解题步骤 1

将方程重写为 $\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$ 。

$\sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x} = 4$

解题步骤 2

从等式两边同时减去 $\sqrt{31 - 3 x}$ 。

$\sqrt{- 6 - 2 x} = 4 - \sqrt{31 - 3 x}$

解题步骤 3

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${\sqrt{- 6 - 2 x}}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

解题步骤 4

化简方程的两边。

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解题步骤 4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{- 6 - 2 x}$ 重写成 ${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

解题步骤 4.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.1

化简 ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.2.1.1

将 ${({(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.2.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.1.1.2.1

约去公因数。

${(- 6 - 2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.1.2.2

重写表达式。

${(- 6 - 2 x)}^{1} = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

解题步骤 4.2.1.2

化简。

$- 6 - 2 x = {(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$

解题步骤 4.3

化简右边。

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解题步骤 4.3.1

化简 ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ 。

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解题步骤 4.3.1.1

将 ${(4 - \sqrt{31 - 3 x})}^{2}$ 重写为 $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ 。

$- 6 - 2 x = (4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

解题步骤 4.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(4 - \sqrt{31 - 3 x}) (4 - \sqrt{31 - 3 x})$ 。

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解题步骤 4.3.1.2.1

运用分配律。

$- 6 - 2 x = 4 (4 - \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

解题步骤 4.3.1.2.2

运用分配律。

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} (4 - \sqrt{31 - 3 x})$

解题步骤 4.3.1.2.3

运用分配律。

$- 6 - 2 x = 4 \cdot 4 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

解题步骤 4.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.3.1.3.1.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$- 6 - 2 x = 16 + 4 (- \sqrt{31 - 3 x}) - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

解题步骤 4.3.1.3.1.2

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} \cdot 4 - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

解题步骤 4.3.1.3.1.3

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$

解题步骤 4.3.1.3.1.4

乘以 $- \sqrt{31 - 3 x} (- \sqrt{31 - 3 x})$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 1 \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.2

将 $\sqrt{31 - 3 x}$ 乘以 $1$ 。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + \sqrt{31 - 3 x} \sqrt{31 - 3 x}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.3

对 $\sqrt{31 - 3 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} \sqrt{31 - 3 x}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.4

对 $\sqrt{31 - 3 x}$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1} {\sqrt{31 - 3 x}}^{1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{1 + 1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.4.6

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.5

将 ${\sqrt{31 - 3 x}}^{2}$ 重写为 $31 - 3 x$ 。

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解题步骤 4.3.1.3.1.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{31 - 3 x}$ 重写成 ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

解题步骤 4.3.1.3.1.5.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $2$ 。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.3.1.3.1.5.4

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1.3.1.5.4.1

约去公因数。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{\frac{2}{2}}$

解题步骤 4.3.1.3.1.5.4.2

重写表达式。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + {(31 - 3 x)}^{1}$

解题步骤 4.3.1.3.1.5.5

化简。

$- 6 - 2 x = 16 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} + 31 - 3 x$

解题步骤 4.3.1.3.2

将 $16$ 和 $31$ 相加。

$- 6 - 2 x = 47 - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 4 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

解题步骤 4.3.1.3.3

从 $- 4 \sqrt{31 - 3 x}$ 中减去 $4 \sqrt{31 - 3 x}$ 。

$- 6 - 2 x = 47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x$

解题步骤 5

求解 $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ 。

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解题步骤 5.1

将方程重写为 $47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$ 。

$47 - 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x$

解题步骤 5.2

将所有不包含 $- 8 \sqrt{31 - 3 x}$ 的项移到等式右边。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $47$ 。

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} - 3 x = - 6 - 2 x - 47$

解题步骤 5.2.2

在等式两边都加上 $3 x$ 。

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 6 - 2 x - 47 + 3 x$

解题步骤 5.2.3

从 $- 6$ 中减去 $47$ 。

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = - 2 x - 53 + 3 x$

解题步骤 5.2.4

将 $- 2 x$ 和 $3 x$ 相加。

$- 8 \sqrt{31 - 3 x} = x - 53$

解题步骤 6

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行平方。

${(- 8 \sqrt{31 - 3 x})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7

化简方程的两边。

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解题步骤 7.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{31 - 3 x}$ 重写成 ${(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 。

${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.1

化简 ${(- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 。

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解题步骤 7.2.1.1

对 $- 8 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ 运用乘积法则。

${(- 8)}^{2} {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.2

对 $- 8$ 进行 $2$ 次方运算。

$64 {({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3

将 ${({(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.1.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.1.3.2.1

约去公因数。

$64 {(31 - 3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.3.2.2

重写表达式。

$64 {(31 - 3 x)}^{1} = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.4

化简。

$64 (31 - 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.5

运用分配律。

$64 \cdot 31 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.6

乘。

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解题步骤 7.2.1.6.1

将 $64$ 乘以 $31$ 。

$1984 + 64 (- 3 x) = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.2.1.6.2

将 $- 3$ 乘以 $64$ 。

$1984 - 192 x = {(x - 53)}^{2}$

解题步骤 7.3

化简右边。

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解题步骤 7.3.1

化简 ${(x - 53)}^{2}$ 。

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解题步骤 7.3.1.1

将 ${(x - 53)}^{2}$ 重写为 $(x - 53) (x - 53)$ 。

$1984 - 192 x = (x - 53) (x - 53)$

解题步骤 7.3.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 53) (x - 53)$ 。

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解题步骤 7.3.1.2.1

运用分配律。

$1984 - 192 x = x (x - 53) - 53 (x - 53)$

解题步骤 7.3.1.2.2

运用分配律。

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 (x - 53)$

解题步骤 7.3.1.2.3

运用分配律。

$1984 - 192 x = x \cdot x + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

解题步骤 7.3.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 7.3.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 7.3.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$1984 - 192 x = x^{2} + x \cdot - 53 - 53 x - 53 \cdot - 53$

解题步骤 7.3.1.3.1.2

将 $- 53$ 移到 $x$ 的左侧。

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 \cdot x - 53 x - 53 \cdot - 53$

解题步骤 7.3.1.3.1.3

将 $- 53$ 乘以 $- 53$ 。

$1984 - 192 x = x^{2} - 53 x - 53 x + 2809$

解题步骤 7.3.1.3.2

从 $- 53 x$ 中减去 $53 x$ 。

$1984 - 192 x = x^{2} - 106 x + 2809$

解题步骤 8

求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

因为 $x$ 在方程的右边，所以要交换两边使其出现在方程的左边。

$x^{2} - 106 x + 2809 = 1984 - 192 x$

解题步骤 8.2

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 8.2.1

在等式两边都加上 $192 x$ 。

$x^{2} - 106 x + 2809 + 192 x = 1984$

解题步骤 8.2.2

将 $- 106 x$ 和 $192 x$ 相加。

$x^{2} + 86 x + 2809 = 1984$

解题步骤 8.3

从等式两边同时减去 $1984$ 。

$x^{2} + 86 x + 2809 - 1984 = 0$

解题步骤 8.4

从 $2809$ 中减去 $1984$ 。

$x^{2} + 86 x + 825 = 0$

解题步骤 8.5

使用 AC 法来对 $x^{2} + 86 x + 825$ 进行因式分解。

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解题步骤 8.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $825$ ，和为 $86$ 。

$11, 75$

解题步骤 8.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x + 11) (x + 75) = 0$

解题步骤 8.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x + 11 = 0$

$x + 75 = 0$

解题步骤 8.7

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.7.1

将 $x + 11$ 设为等于 $0$ 。

$x + 11 = 0$

解题步骤 8.7.2

从等式两边同时减去 $11$ 。

$x = - 11$

解题步骤 8.8

将 $x + 75$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.8.1

将 $x + 75$ 设为等于 $0$ 。

$x + 75 = 0$

解题步骤 8.8.2

从等式两边同时减去 $75$ 。

$x = - 75$

解题步骤 8.9

最终解为使 $(x + 11) (x + 75) = 0$ 成立的所有值。

$x = - 11, - 75$

解题步骤 9

排除不能使 $4 = \sqrt{- 6 - 2 x} + \sqrt{31 - 3 x}$ 成立的解。

$无解$

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