初级微积分示例

$\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1}) = \log_{2} (3)$

解题步骤 1.2

化简分母。

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解题步骤 1.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\log_{2} (\frac{8 x}{x^{2} - 1^{2}}) = \log_{2} (3)$

解题步骤 1.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

$\log_{2} (\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)}) = \log_{2} (3)$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 3.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$(x + 1) (x - 1), 1$

解题步骤 3.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$(x + 1) (x - 1)$

解题步骤 3.2

将 $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ 中的每一项乘以 $(x + 1) (x - 1)$ 以消去分数。

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解题步骤 3.2.1

将 $\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} = 3$ 中的每一项乘以 $(x + 1) (x - 1)$ 。

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 3.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.2.2.1

约去 $(x + 1) (x - 1)$ 的公因数。

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解题步骤 3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{8 x}{(x + 1) (x - 1)} ((x + 1) (x - 1)) = 3 ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 3.2.2.1.2

重写表达式。

$8 x = 3 ((x + 1) (x - 1))$

解题步骤 3.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.2.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 1) (x - 1)$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.1

运用分配律。

$8 x = 3 (x (x - 1) + 1 (x - 1))$

解题步骤 3.2.3.1.2

运用分配律。

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1))$

解题步骤 3.2.3.1.3

运用分配律。

$8 x = 3 (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 3.2.3.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.2.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$8 x = 3 (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 3.2.3.2.1.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$8 x = 3 (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 3.2.3.2.1.3

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$8 x = 3 (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 3.2.3.2.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$8 x = 3 (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1)$

解题步骤 3.2.3.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$8 x = 3 (x^{2} - x + x - 1)$

解题步骤 3.2.3.2.2

将 $- x$ 和 $x$ 相加。

$8 x = 3 (x^{2} + 0 - 1)$

解题步骤 3.2.3.2.3

将 $x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$8 x = 3 (x^{2} - 1)$

解题步骤 3.2.3.3

运用分配律。

$8 x = 3 x^{2} + 3 \cdot - 1$

解题步骤 3.2.3.4

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$8 x = 3 x^{2} - 3$

解题步骤 3.3

求解方程。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $3 x^{2}$ 。

$8 x - 3 x^{2} = - 3$

解题步骤 3.3.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$8 x - 3 x^{2} + 3 = 0$

解题步骤 3.3.3

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.3.3.1

从 $8 x - 3 x^{2} + 3$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 3.3.3.1.1

将 $8 x$ 和 $- 3 x^{2}$ 重新排序。

$- 3 x^{2} + 8 x + 3 = 0$

解题步骤 3.3.3.1.2

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) + 8 x + 3 = 0$

解题步骤 3.3.3.1.3

从 $8 x$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) + 3 = 0$

解题步骤 3.3.3.1.4

将 $3$ 重写为 $- 1 (- 3)$ 。

$- (3 x^{2}) - (- 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 3.3.3.1.5

从 $- (3 x^{2}) - (- 8 x)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 8 x) - 1 \cdot - 3 = 0$

解题步骤 3.3.3.1.6

从 $- (3 x^{2} - 8 x) - 1 (- 3)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.3.2

因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1

分组因式分解。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 3 = - 9$ 并且它们的和为 $b = - 8$ 。

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解题步骤 3.3.3.2.1.1.1

从 $- 8 x$ 中分解出因数 $- 8$ 。

$- (3 x^{2} - 8 x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.3.2.1.1.2

把 $- 8$ 重写为 $1$ 加 $- 9$

$- (3 x^{2} + (1 - 9) x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.3.2.1.1.3

运用分配律。

$- (3 x^{2} + 1 x - 9 x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.3.2.1.1.4

将 $x$ 乘以 $1$ 。

$- (3 x^{2} + x - 9 x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.3.2.1.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 3.3.3.2.1.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$- ((3 x^{2} + x) - 9 x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.3.2.1.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$- (x (3 x + 1) - 3 (3 x + 1)) = 0$

解题步骤 3.3.3.2.1.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x + 1$ 来因式分解多项式。

$- ((3 x + 1) (x - 3)) = 0$

解题步骤 3.3.3.2.2

去掉多余的括号。

$- (3 x + 1) (x - 3) = 0$

解题步骤 3.3.4

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.3.5

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.5.1

将 $3 x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$3 x + 1 = 0$

解题步骤 3.3.5.2

求解 $x$ 的 $3 x + 1 = 0$ 。

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解题步骤 3.3.5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$3 x = - 1$

解题步骤 3.3.5.2.2

将 $3 x = - 1$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 3.3.5.2.2.1

将 $3 x = - 1$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.3.5.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 3.3.5.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.5.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.3.5.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- 1}{3}$

解题步骤 3.3.5.2.2.3

化简右边。

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解题步骤 3.3.5.2.2.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{1}{3}$

解题步骤 3.3.6

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.3.6.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.3.6.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.3.7

最终解为使 $- (3 x + 1) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = - \frac{1}{3}, 3$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{2} (8 x) - \log_{2} (x^{2} - 1) = \log_{2} (3)$ 成立的解。

$x = 3$

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