初级微积分示例

$\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

解题步骤 1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{2} (\frac{x - 1}{x + 3}) = \log_{2} (\frac{1}{x})$

解题步骤 2

为使方程成立，方程两边对数的自变量必须相等。

$\frac{x - 1}{x + 3} = \frac{1}{x}$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

解题步骤 3.2

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.2.1

化简 $(x - 1) x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

重写。

$0 + 0 + (x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.2

通过加上各个零进行化简。

$(x - 1) x = (x + 3) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.3

运用分配律。

$x \cdot x - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4

化简表达式。

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解题步骤 3.2.1.4.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} - 1 x = (x + 3) \cdot 1$

解题步骤 3.2.1.4.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x = (x + 3) \cdot 1$

解题步骤 3.2.2

将 $x + 3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - x = x + 3$

解题步骤 3.2.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.2.3.1

从等式两边同时减去 $x$ 。

$x^{2} - x - x = 3$

解题步骤 3.2.3.2

从 $- x$ 中减去 $x$ 。

$x^{2} - 2 x = 3$

解题步骤 3.2.4

从等式两边同时减去 $3$ 。

$x^{2} - 2 x - 3 = 0$

解题步骤 3.2.5

使用 AC 法来对 $x^{2} - 2 x - 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.2.5.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 3$ ，和为 $- 2$ 。

$- 3, 1$

解题步骤 3.2.5.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) (x + 1) = 0$

解题步骤 3.2.6

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.2.7

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.7.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 3.2.7.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 3.2.8

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.2.8.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 3.2.8.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 3.2.9

最终解为使 $(x - 3) (x + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, - 1$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{2} (x - 1) - \log_{2} (x + 3) = \log_{2} (\frac{1}{x})$ 成立的解。

$x = 3$

初级微积分 示例

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