初级微积分示例

$\log_{4} (x^{2} + 3 x) - \log_{4} (x + 5) = 1$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数的商数性质，即 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ 。

$\log_{4} (\frac{x^{2} + 3 x}{x + 5}) = 1$

解题步骤 1.2

从 $x^{2} + 3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 1.2.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + 3 x}{x + 5}) = 1$

解题步骤 1.2.2

从 $3 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{4} (\frac{x \cdot x + x \cdot 3}{x + 5}) = 1$

解题步骤 1.2.3

从 $x \cdot x + x \cdot 3$ 中分解出因数 $x$ 。

$\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$

解题步骤 2

利用对数的定义将 $\log_{4} (\frac{x (x + 3)}{x + 5}) = 1$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 都是正实数且 $b$ $\neq$ $1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$4^{1} = \frac{x (x + 3)}{x + 5}$

解题步骤 3

交叉相乘以去掉分数。

$x (x + 3) = 4 (x + 5)$

解题步骤 4

化简 $4 (x + 5)$ 。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$x (x + 3) = 4 x + 4 \cdot 5$

解题步骤 4.2

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$x (x + 3) = 4 x + 20$

解题步骤 5

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 5.1

从等式两边同时减去 $4 x$ 。

$x (x + 3) - 4 x = 20$

解题步骤 5.2

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot 3 - 4 x = 20$

解题步骤 5.2.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot 3 - 4 x = 20$

解题步骤 5.2.3

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} + 3 x - 4 x = 20$

解题步骤 5.3

从 $3 x$ 中减去 $4 x$ 。

$x^{2} - x = 20$

解题步骤 6

从 $x^{2} - x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 6.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x - x = 20$

解题步骤 6.2

从 $- x$ 中分解出因数 $x$ 。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

解题步骤 6.3

从 $x \cdot x + x \cdot - 1$ 中分解出因数 $x$ 。

$x (x - 1) = 20$

解题步骤 7

化简 $x (x - 1)$ 。

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解题步骤 7.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 7.1.1

运用分配律。

$x \cdot x + x \cdot - 1 = 20$

解题步骤 7.1.2

化简表达式。

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解题步骤 7.1.2.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2} + x \cdot - 1 = 20$

解题步骤 7.1.2.2

将 $- 1$ 移到 $x$ 的左侧。

$x^{2} - 1 \cdot x = 20$

解题步骤 7.2

将 $- 1 x$ 重写为 $- x$ 。

$x^{2} - x = 20$

解题步骤 8

从等式两边同时减去 $20$ 。

$x^{2} - x - 20 = 0$

解题步骤 9

使用 AC 法来对 $x^{2} - x - 20$ 进行因式分解。

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解题步骤 9.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 20$ ，和为 $- 1$ 。

$- 5, 4$

解题步骤 9.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 5) (x + 4) = 0$

解题步骤 10

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

$x + 4 = 0$

解题步骤 11

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 11.1

将 $x - 5$ 设为等于 $0$ 。

$x - 5 = 0$

解题步骤 11.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$x = 5$

解题步骤 12

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 12.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 12.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 13

最终解为使 $(x - 5) (x + 4) = 0$ 成立的所有值。

$x = 5, - 4$

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