初级微积分示例

$\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$

解题步骤 1

使用对数的定义将 $\log_{x} (\frac{1}{27}) = 3$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$x^{3} = \frac{1}{27}$

解题步骤 2

求解 $x$ 。

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解题步骤 2.1

从等式两边同时减去 $\frac{1}{27}$ 。

$x^{3} - \frac{1}{27} = 0$

解题步骤 2.2

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{27}$ 重写为 ${(\frac{1}{3})}^{3}$ 。

$x^{3} - {(\frac{1}{3})}^{3} = 0$

解题步骤 2.2.2

因为两项都是完全立方数，所以使用立方差公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = \frac{1}{3}$ 。

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + x (\frac{1}{3}) + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3

化简。

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解题步骤 2.2.3.1

组合 $x$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + {(\frac{1}{3})}^{2}) = 0$

解题步骤 2.2.3.2

对 $\frac{1}{3}$ 运用乘积法则。

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1^{2}}{3^{2}}) = 0$

解题步骤 2.2.3.3

一的任意次幂都为一。

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{3^{2}}) = 0$

解题步骤 2.2.3.4

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 2.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - \frac{1}{3} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

解题步骤 2.4

将 $x - \frac{1}{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.4.1

将 $x - \frac{1}{3}$ 设为等于 $0$ 。

$x - \frac{1}{3} = 0$

解题步骤 2.4.2

在等式两边都加上 $\frac{1}{3}$ 。

$x = \frac{1}{3}$

解题步骤 2.5

将 $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 2.5.1

将 $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}$ 设为等于 $0$ 。

$x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$

解题步骤 2.5.2

求解 $x$ 的 $x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9} = 0$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

全部乘以最小公分母 $9$ ，然后化简。

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解题步骤 2.5.2.1.1

运用分配律。

$9 x^{2} + 9 (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2

化简。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.2.1.1

从 $9$ 中分解出因数 $3$ 。

$9 x^{2} + 3 (3) (\frac{x}{3}) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2.1.2

约去公因数。

$9 x^{2} + 3 \cdot (3 (\frac{x}{3})) + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2.1.3

重写表达式。

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2.2

约去 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.2.1.2.2.1

约去公因数。

$9 x^{2} + 3 x + 9 (\frac{1}{9}) = 0$

解题步骤 2.5.2.1.2.2.2

重写表达式。

$9 x^{2} + 3 x + 1 = 0$

解题步骤 2.5.2.2

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 2.5.2.3

将 $a = 9$ 、 $b = 3$ 和 $c = 1$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (9 \cdot 1)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4

化简。

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解题步骤 2.5.2.4.1

化简分子。

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解题步骤 2.5.2.4.1.1

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 9 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2

乘以 $- 4 \cdot 9 \cdot 1$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36 \cdot 1}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.2.2

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 36}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.3

从 $9$ 中减去 $36$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.4

将 $- 27$ 重写为 $- 1 (27)$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.5

将 $\sqrt{- 1 (27)}$ 重写为 $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.6

将 $\sqrt{- 1}$ 重写为 $i$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{27}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.7

将 $27$ 重写为 $3^{2} \cdot 3$ 。

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解题步骤 2.5.2.4.1.7.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{9 (3)}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.7.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.8

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 3 \pm i \cdot (3 \sqrt{3})}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.1.9

将 $3$ 移到 $i$ 的左侧。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{2 \cdot 9}$

解题步骤 2.5.2.4.2

将 $2$ 乘以 $9$ 。

$x = \frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$

解题步骤 2.5.2.4.3

化简 $\frac{- 3 \pm 3 i \sqrt{3}}{18}$ 。

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.5.2.5

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

解题步骤 2.6

最终解为使 $(x - \frac{1}{3}) (x^{2} + \frac{x}{3} + \frac{1}{9}) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{1}{3}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{6}$

初级微积分 示例

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