初级微积分示例

$\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$

解题步骤 1

化简左边。

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解题步骤 1.1

使用对数积的性质，即 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ 。

$\log_{9} ((x + 6) (x + 3)) = 2$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x + 6) (x + 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\log_{9} (x (x + 3) + 6 (x + 3)) = 2$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 (x + 3)) = 2$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\log_{9} (x \cdot x + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\log_{9} (x^{2} + x \cdot 3 + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.2

将 $3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\log_{9} (x^{2} + 3 \cdot x + 6 x + 6 \cdot 3) = 2$

解题步骤 1.3.1.3

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$\log_{9} (x^{2} + 3 x + 6 x + 18) = 2$

解题步骤 1.3.2

将 $3 x$ 和 $6 x$ 相加。

$\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$

解题步骤 2

使用对数的定义将 $\log_{9} (x^{2} + 9 x + 18) = 2$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$9^{2} = x^{2} + 9 x + 18$

解题步骤 3

求解 $x$ 。

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解题步骤 3.1

将方程重写为 $x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$ 。

$x^{2} + 9 x + 18 = 9^{2}$

解题步骤 3.2

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$x^{2} + 9 x + 18 = 81$

解题步骤 3.3

将所有项移到等式左边并化简。

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解题步骤 3.3.1

从等式两边同时减去 $81$ 。

$x^{2} + 9 x + 18 - 81 = 0$

解题步骤 3.3.2

从 $18$ 中减去 $81$ 。

$x^{2} + 9 x - 63 = 0$

解题步骤 3.4

使用二次公式求解。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

解题步骤 3.5

将 $a = 1$ 、 $b = 9$ 和 $c = - 63$ 的值代入二次公式中并求解 $x$ 。

$\frac{- 9 \pm \sqrt{9^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 63)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

化简分子。

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解题步骤 3.6.1.1

对 $9$ 进行 $2$ 次方运算。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot 1 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2

乘以 $- 4 \cdot 1 \cdot - 63$ 。

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解题步骤 3.6.1.2.1

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 - 4 \cdot - 63}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.2.2

将 $- 4$ 乘以 $- 63$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{81 + 252}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.3

将 $81$ 和 $252$ 相加。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{333}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4

将 $333$ 重写为 $3^{2} \cdot 37$ 。

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解题步骤 3.6.1.4.1

从 $333$ 中分解出因数 $9$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{9 (37)}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.4.2

将 $9$ 重写为 $3^{2}$ 。

$x = \frac{- 9 \pm \sqrt{3^{2} \cdot 37}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.1.5

从根式下提出各项。

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2 \cdot 1}$

解题步骤 3.6.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$x = \frac{- 9 \pm 3 \sqrt{37}}{2}$

解题步骤 3.7

最终答案为两个解的组合。

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}, - \frac{9 + 3 \sqrt{37}}{2}$

解题步骤 4

排除不能使 $\log_{9} (x + 6) + \log_{9} (x + 3) = 2$ 成立的解。

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$x = - \frac{9 - 3 \sqrt{37}}{2}$

小数形式：

$x = 4.62414379 \dots$

初级微积分 示例

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