初级微积分示例

$\tan^{3} (x) = \tan (x)$

解题步骤 1

从等式两边同时减去 $\tan (x)$ 。

$\tan^{3} (x) - \tan (x) = 0$

解题步骤 2

对 $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.1

从 $\tan^{3} (x) - \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

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解题步骤 2.1.1

从 $\tan^{3} (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \tan^{2} (x) - \tan (x) = 0$

解题步骤 2.1.2

从 $- \tan (x)$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1 = 0$

解题步骤 2.1.3

从 $\tan (x) \tan^{2} (x) + \tan (x) \cdot - 1$ 中分解出因数 $\tan (x)$ 。

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1) = 0$

解题步骤 2.2

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\tan (x) (\tan^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

解题步骤 2.3

因数。

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解题步骤 2.3.1

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \tan (x)$ 和 $b = 1$ 。

$\tan (x) ((\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1)) = 0$

解题步骤 2.3.2

去掉多余的括号。

$\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$

解题步骤 3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

$\tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 4

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 4.1

将 $\tan (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) = 0$

解题步骤 4.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) = 0$ 。

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解题步骤 4.2.1

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (0)$

解题步骤 4.2.2

化简右边。

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解题步骤 4.2.2.1

$\arctan (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 4.2.3

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + 0$

解题步骤 4.2.4

将 $π$ 和 $0$ 相加。

$x = π$

解题步骤 4.2.5

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 4.2.5.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 4.2.5.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 4.2.5.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 4.2.5.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 4.2.6

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = π n, π + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 5

将 $\tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.1

将 $\tan (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 5.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 5.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\tan (x) = - 1$

解题步骤 5.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (- 1)$

解题步骤 5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.2.3.1

$\arctan (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{4}$ 。

$x = - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.4

正切函数在第二和第四象限为负值。若要求第二个解，应从 $π$ 中减去参考角以求得第三象限中的解。

$x = - \frac{π}{4} - π$

解题步骤 5.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 5.2.5.1

将 $2 π$ 加上 $- \frac{π}{4} - π$ 。

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

解题步骤 5.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{4}$ 是正角度且与 $- \frac{π}{4} - π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 5.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 5.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 5.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 5.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 5.2.7

将 $π$ 和每一个负角相加以得出正角。

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解题步骤 5.2.7.1

将 $π$ 加到 $- \frac{π}{4}$ 以求正角。

$- \frac{π}{4} + π$

解题步骤 5.2.7.2

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.3

合并分数。

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解题步骤 5.2.7.3.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

解题步骤 5.2.7.3.2

在公分母上合并分子。

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4

化简分子。

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解题步骤 5.2.7.4.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

解题步骤 5.2.7.4.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$\frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.7.5

列出新角。

$x = \frac{3 π}{4}$

解题步骤 5.2.8

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 6

将 $\tan (x) - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $\tan (x) - 1$ 设为等于 $0$ 。

$\tan (x) - 1 = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $\tan (x) - 1 = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

在等式两边都加上 $1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 6.2.2

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 6.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.2.3.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.4

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.5

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 6.2.5.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.5.2

合并分数。

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解题步骤 6.2.5.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 6.2.5.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 6.2.5.3

化简分子。

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解题步骤 6.2.5.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 6.2.5.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 6.2.6

求 $\tan (x)$ 的周期。

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解题步骤 6.2.6.1

函数的周期可利用 $\frac{π}{| b |}$ 进行计算。

$\frac{π}{| b |}$

解题步骤 6.2.6.2

使用周期公式中的 $1$ 替换 $b$ 。

$\frac{π}{| 1 |}$

解题步骤 6.2.6.3

绝对值就是一个数和零之间的距离。 $0$ 和 $1$ 之间的距离为 $1$ 。

$\frac{π}{1}$

解题步骤 6.2.6.4

用 $π$ 除以 $1$ 。

$π$

解题步骤 6.2.7

$\tan (x)$ 函数的周期为 $π$ ，所以函数值在两个方向上每隔 $π$ 弧度将重复出现。

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 7

最终解为使 $\tan (x) (\tan (x) + 1) (\tan (x) - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = π n, π + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8

合并答案。

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解题步骤 8.1

将 $π n$ 和 $π + π n$ 合并为 $π n$ 。

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.2

将 $\frac{3 π}{4} + π n$ 和 $\frac{π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 。

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{4} + π n$ ，对于任意整数 $n$

解题步骤 8.3

将 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 和 $\frac{5 π}{4} + π n$ 合并为 $\frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ 。

$x = π n, \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ ，对于任意整数 $n$

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