初级微积分示例

$\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1

对两边化简。

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解题步骤 1.1

从 $10 - 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 1.1.1

从 $10$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.2

从 $- 4 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5) + 2 (- 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.1.3

从 $2 (5) + 2 (- 2 x)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{x^{2} + 3 x - 10}$

解题步骤 1.2

使用 AC 法来对 $x^{2} + 3 x - 10$ 进行因式分解。

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解题步骤 1.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 10$ ，和为 $3$ 。

$- 2, 5$

解题步骤 1.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$\frac{7}{2 - x} = \frac{2 (5 - 2 x)}{(x - 2) (x + 5)}$

解题步骤 2

将第一个分数的分子乘以第二个分数的分母。使其等于第一个分数的分母与第二个分数的分子的乘积。

$7 ((x - 2) (x + 5)) = (2 - x) (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 3.1

化简 $7 (x - 2) (x + 5)$ 。

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解题步骤 3.1.1

重写。

$0 + 0 + 7 (x - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.2

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.1.2.1

运用分配律。

$(7 x + 7 \cdot - 2) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.2.2

将 $7$ 乘以 $- 2$ 。

$(7 x - 14) (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(7 x - 14) (x + 5)$ 。

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解题步骤 3.1.3.1

运用分配律。

$7 x (x + 5) - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.3.2

运用分配律。

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 (x + 5) = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.3.3

运用分配律。

$7 x \cdot x + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.1.4.1.1.1

移动 $x$ 。

$7 (x \cdot x) + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.4.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$7 x^{2} + 7 x \cdot 5 - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.4.1.2

将 $5$ 乘以 $7$ 。

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 14 \cdot 5 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.4.1.3

将 $- 14$ 乘以 $5$ 。

$7 x^{2} + 35 x - 14 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.1.4.2

从 $35 x$ 中减去 $14 x$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$

解题步骤 3.2

化简 $(2 - x) \cdot (2 (5 - 2 x))$ 。

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解题步骤 3.2.1

通过相乘进行化简。

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解题步骤 3.2.1.1

运用分配律。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (2 \cdot 5 + 2 (- 2 x))$

解题步骤 3.2.1.2

乘。

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解题步骤 3.2.1.2.1

将 $2$ 乘以 $5$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 + 2 (- 2 x))$

解题步骤 3.2.1.2.2

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = (2 - x) \cdot (10 - 4 x)$

解题步骤 3.2.2

使用 FOIL 方法展开 $(2 - x) (10 - 4 x)$ 。

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解题步骤 3.2.2.1

运用分配律。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 (10 - 4 x) - x (10 - 4 x)$

解题步骤 3.2.2.2

运用分配律。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x (10 - 4 x)$

解题步骤 3.2.2.3

运用分配律。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 2 \cdot 10 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

解题步骤 3.2.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.3.1.1

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 + 2 (- 4 x) - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

解题步骤 3.2.3.1.2

将 $- 4$ 乘以 $2$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - x \cdot 10 - x (- 4 x)$

解题步骤 3.2.3.1.3

将 $10$ 乘以 $- 1$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - x (- 4 x)$

解题步骤 3.2.3.1.4

使用乘法的交换性质重写。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x \cdot x$

解题步骤 3.2.3.1.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 3.2.3.1.5.1

移动 $x$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 (x \cdot x)$

解题步骤 3.2.3.1.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x - 1 \cdot - 4 x^{2}$

解题步骤 3.2.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $- 4$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 8 x - 10 x + 4 x^{2}$

解题步骤 3.2.3.2

从 $- 8 x$ 中减去 $10 x$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 = 20 - 18 x + 4 x^{2}$

解题步骤 3.3

将所有包含 $x$ 的项移到等式左边。

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解题步骤 3.3.1

在等式两边都加上 $18 x$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20 + 4 x^{2}$

解题步骤 3.3.2

从等式两边同时减去 $4 x^{2}$ 。

$7 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x - 4 x^{2} = 20$

解题步骤 3.3.3

从 $7 x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$3 x^{2} + 21 x - 70 + 18 x = 20$

解题步骤 3.3.4

将 $21 x$ 和 $18 x$ 相加。

$3 x^{2} + 39 x - 70 = 20$

解题步骤 3.4

从等式两边同时减去 $20$ 。

$3 x^{2} + 39 x - 70 - 20 = 0$

解题步骤 3.5

从 $- 70$ 中减去 $20$ 。

$3 x^{2} + 39 x - 90 = 0$

解题步骤 3.6

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 3.6.1

从 $3 x^{2} + 39 x - 90$ 中分解出因数 $3$ 。

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解题步骤 3.6.1.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 39 x - 90 = 0$

解题步骤 3.6.1.2

从 $39 x$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2}) + 3 (13 x) - 90 = 0$

解题步骤 3.6.1.3

从 $- 90$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 x^{2} + 3 (13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

解题步骤 3.6.1.4

从 $3 x^{2} + 3 (13 x)$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30 = 0$

解题步骤 3.6.1.5

从 $3 (x^{2} + 13 x) + 3 \cdot - 30$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (x^{2} + 13 x - 30) = 0$

解题步骤 3.6.2

因数。

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解题步骤 3.6.2.1

使用 AC 法来对 $x^{2} + 13 x - 30$ 进行因式分解。

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解题步骤 3.6.2.1.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 30$ ，和为 $13$ 。

$- 2, 15$

解题步骤 3.6.2.1.2

使用这些整数书写分数形式。

$3 ((x - 2) (x + 15)) = 0$

解题步骤 3.6.2.2

去掉多余的括号。

$3 (x - 2) (x + 15) = 0$

解题步骤 3.7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

$x + 15 = 0$

解题步骤 3.8

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.8.1

将 $x - 2$ 设为等于 $0$ 。

$x - 2 = 0$

解题步骤 3.8.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$x = 2$

解题步骤 3.9

将 $x + 15$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 3.9.1

将 $x + 15$ 设为等于 $0$ 。

$x + 15 = 0$

解题步骤 3.9.2

从等式两边同时减去 $15$ 。

$x = - 15$

解题步骤 3.10

最终解为使 $3 (x - 2) (x + 15) = 0$ 成立的所有值。

$x = 2, - 15$

解题步骤 4

排除不能使 $\frac{7}{2 - x} = \frac{10 - 4 x}{x^{2} + 3 x - 10}$ 成立的解。

$x = - 15$

初级微积分 示例

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