初级微积分示例

$5^{x} + 125 (5^{- x}) = 30$

解题步骤 1

将 $5^{- x}$ 重写为乘方形式。

$5^{x} + 125 \cdot {(5^{x})}^{- 1} = 30$

解题步骤 2

代入 $u$ 替换 $5^{x}$ 。

$u + 125 \cdot u^{- 1} = 30$

解题步骤 3

化简每一项。

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解题步骤 3.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$u + 125 \cdot \frac{1}{u} = 30$

解题步骤 3.2

组合 $125$ 和 $\frac{1}{u}$ 。

$u + \frac{125}{u} = 30$

$u + \frac{125}{u} = 30$

解题步骤 4

求解 $u$ 。

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解题步骤 4.1

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 4.1.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$1, u, 1$

解题步骤 4.1.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$u$

$u$

解题步骤 4.2

将 $u + \frac{125}{u} = 30$ 中的每一项乘以 $u$ 以消去分数。

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解题步骤 4.2.1

将 $u + \frac{125}{u} = 30$ 中的每一项乘以 $u$ 。

$u \cdot u + \frac{125}{u} u = 30 u$

解题步骤 4.2.2

化简左边。

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解题步骤 4.2.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.2.2.1.1

将 $u$ 乘以 $u$ 。

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

解题步骤 4.2.2.1.2

约去 $u$ 的公因数。

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解题步骤 4.2.2.1.2.1

约去公因数。

$u^{2} + \frac{125}{u} u = 30 u$

解题步骤 4.2.2.1.2.2

重写表达式。

$u^{2} + 125 = 30 u$

$u^{2} + 125 = 30 u$

$u^{2} + 125 = 30 u$

$u^{2} + 125 = 30 u$

$u^{2} + 125 = 30 u$

解题步骤 4.3

求解方程。

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解题步骤 4.3.1

从等式两边同时减去 $30 u$ 。

$u^{2} + 125 - 30 u = 0$

解题步骤 4.3.2

使用 AC 法来对 $u^{2} + 125 - 30 u$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.3.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $125$ ，和为 $- 30$ 。

$- 25, - 5$

解题步骤 4.3.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(u - 25) (u - 5) = 0$

$(u - 25) (u - 5) = 0$

解题步骤 4.3.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$u - 25 = 0$

$u - 5 = 0$

解题步骤 4.3.4

将 $u - 25$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.3.4.1

将 $u - 25$ 设为等于 $0$ 。

$u - 25 = 0$

解题步骤 4.3.4.2

在等式两边都加上 $25$ 。

$u = 25$

$u = 25$

解题步骤 4.3.5

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 并求解 $u$ 。

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解题步骤 4.3.5.1

将 $u - 5$ 设为等于 $0$ 。

$u - 5 = 0$

解题步骤 4.3.5.2

在等式两边都加上 $5$ 。

$u = 5$

$u = 5$

解题步骤 4.3.6

最终解为使 $(u - 25) (u - 5) = 0$ 成立的所有值。

$u = 25, 5$

$u = 25, 5$

$u = 25, 5$

解题步骤 5

代入 $25$ 替换 $u = 5^{x}$ 中的 $u$ 。

$25 = 5^{x}$

解题步骤 6

求解 $25 = 5^{x}$ 。

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解题步骤 6.1

将方程重写为 $5^{x} = 25$ 。

$5^{x} = 25$

解题步骤 6.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$5^{x} = 5^{2}$

解题步骤 6.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 2$

$x = 2$

解题步骤 7

代入 $5$ 替换 $u = 5^{x}$ 中的 $u$ 。

$5 = 5^{x}$

解题步骤 8

求解 $5 = 5^{x}$ 。

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解题步骤 8.1

将方程重写为 $5^{x} = 5$ 。

$5^{x} = 5$

解题步骤 8.2

在方程中创建底数相同的对等表达式。

$5^{x} = 5^{1}$

解题步骤 8.3

因为底相同，所以两个表达式仅当指数也相等时才会相等。

$x = 1$

$x = 1$

解题步骤 9

列出使方程成立的解。

$x = 2, 1$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$