初级微积分示例

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

解题步骤 1

要将 $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ 。

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$

解题步骤 2

要将 $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ 。

$\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)} \cdot \frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

解题步骤 3

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $\sin (u) (1 + \cos (u))$ 的形式。

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解题步骤 3.1

将 $\frac{1 + \cos (u)}{\sin (u)}$ 乘以 $\frac{1 + \cos (u)}{1 + \cos (u)}$ 。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)} \cdot \frac{\sin (u)}{\sin (u)}$

解题步骤 3.2

将 $\frac{\sin (u)}{1 + \cos (u)}$ 乘以 $\frac{\sin (u)}{\sin (u)}$ 。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{(1 + \cos (u)) \sin (u)}$

解题步骤 3.3

重新排序 $(1 + \cos (u)) \sin (u)$ 的因式。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))} + \frac{\sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 4

在公分母上合并分子。

$\frac{(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5

化简分子。

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解题步骤 5.1

使用 FOIL 方法展开 $(1 + \cos (u)) (1 + \cos (u))$ 。

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解题步骤 5.1.1

运用分配律。

$\frac{1 (1 + \cos (u)) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.1.2

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) (1 + \cos (u)) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.1.3

运用分配律。

$\frac{1 \cdot 1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.2.1.1

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + 1 \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2.1.2

将 $\cos (u)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) \cdot 1 + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2.1.3

将 $\cos (u)$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2.1.4

乘以 $\cos (u) \cos (u)$ 。

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解题步骤 5.2.1.4.1

对 $\cos (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2.1.4.2

对 $\cos (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{1} (u) \cos^{1} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + {\cos (u)}^{1 + 1} + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + \cos (u) + \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.2.2

将 $\cos (u)$ 和 $\cos (u)$ 相加。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.3

乘以 $\sin (u) \sin (u)$ 。

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解题步骤 5.3.1

对 $\sin (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.3.2

对 $\sin (u)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{1} (u) \sin^{1} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + {\sin (u)}^{1 + 1}}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.4

以因式分解的形式重写 $1 + 2 \cos (u) + \cos^{2} (u) + \sin^{2} (u)$ 。

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解题步骤 5.4.1

重新整理项。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + \sin^{2} (u) + \cos^{2} (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.4.2

使用勾股恒等式。

$\frac{1 + 2 \cos (u) + 1}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.4.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.4.4

从 $2 + 2 \cos (u)$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 5.4.4.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cos (u)}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 5.4.4.2

从 $2 \cdot 1 + 2 \cos (u)$ 中分解出因数 $2$ 。

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 6

约去 $1 + \cos (u)$ 的公因数。

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解题步骤 6.1

约去公因数。

$\frac{2 (1 + \cos (u))}{\sin (u) (1 + \cos (u))}$

解题步骤 6.2

重写表达式。

$\frac{2}{\sin (u)}$

解题步骤 7

分离分数。

$\frac{2}{1} \cdot \frac{1}{\sin (u)}$

解题步骤 8

将 $\frac{1}{\sin (u)}$ 转换成 $\csc (u)$ 。

$\frac{2}{1} \csc (u)$

解题步骤 9

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2 \csc (u)$

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