初级微积分示例

$\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$

解题步骤 1

在平面中画出顶点为 $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ 、 $(1, 0)$ 和原点的三角形。则 $arcsec (\frac{4}{x})$ 是在 x 轴的正轴与从原点开始并穿过 $(1, \sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}})$ 的射线之间形成的一个角。因此， $\sin (arcsec (\frac{4}{x}))$ 为 $\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$ 。

$\frac{\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1}}{\frac{4}{x}}$

解题步骤 2

将分子乘以分母的倒数。

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1} \frac{x}{4}$

解题步骤 3

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\sqrt{{(\frac{4}{x})}^{2} - 1^{2}} \frac{x}{4}$

解题步骤 4

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = \frac{4}{x}$ 和 $b = 1$ 。

$\sqrt{(\frac{4}{x} + 1) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

解题步骤 5

合并为一个分式。

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解题步骤 5.1

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\sqrt{(\frac{4}{x} + \frac{x}{x}) (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

解题步骤 5.2

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1)} \frac{x}{4}$

解题步骤 6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{x}{x}$ 。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x})} \frac{x}{4}$

解题步骤 7

组合 $- 1$ 和 $\frac{x}{x}$ 。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} (\frac{4}{x} + \frac{- x}{x})} \frac{x}{4}$

解题步骤 8

在公分母上合并分子。

$\sqrt{\frac{4 + x}{x} \cdot \frac{4 - x}{x}} \frac{x}{4}$

解题步骤 9

将 $\frac{4 + x}{x}$ 乘以 $\frac{4 - x}{x}$ 。

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x \cdot x}} \frac{x}{4}$

解题步骤 10

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\sqrt{\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

解题步骤 11

将 $\frac{(4 + x) (4 - x)}{x^{2}}$ 重写为 ${(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))$ 。

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解题步骤 11.1

从 $(4 + x) (4 - x)$ 中因式分解出完全幂数 $1^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2}}} \frac{x}{4}$

解题步骤 11.2

从 $x^{2}$ 中因式分解出完全幂数 $x^{2}$ 。

$\sqrt{\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}} \frac{x}{4}$

解题步骤 11.3

重新整理分数 $\frac{1^{2} ((4 + x) (4 - x))}{x^{2} \cdot 1}$ 。

$\sqrt{{(\frac{1}{x})}^{2} ((4 + x) (4 - x))} \frac{x}{4}$

解题步骤 12

从根式下提出各项。

$\frac{1}{x} \sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{x}{4}$

解题步骤 13

组合 $\frac{1}{x}$ 和 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

解题步骤 14

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 14.1

约去公因数。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{x} \cdot \frac{x}{4}$

解题步骤 14.2

重写表达式。

$\sqrt{(4 + x) (4 - x)} \frac{1}{4}$

解题步骤 15

组合 $\sqrt{(4 + x) (4 - x)}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$\frac{\sqrt{(4 + x) (4 - x)}}{4}$

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